2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测

高三 理科数学

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是宇合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．

（1）己知集合M＝｛x｜
＞0}，则
M＝（▲）

A.｛x｜－1≤x＜1}　　　　 B. {x｜－1≤x≤1}

C. {x｜x≤－1} 或x＞1}　　D. {x｜x≤－1} 或x≥1}

（2)设i为虚数单位，则复数
的共扼复数是（▲）

　　A、i　　　B、－i　　　　C、
i　　　　D、－
i

(3)设{an}是公比为q的等比数列，则"0＜q<1”是“{an}为递减数列”的（▲）

A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件

C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

(4）
的最大值为（▲）

A、
　　　　B、9　　　　C、
　　　　D、3

（5）已知A,B,C是圆O上的三点，若
，则
与
的夹角为（　　　）

A. 300 　　　B. 600 　 C. 900 　　　D. 1200

(6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示lcm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6m的圆柱体毛坯切削得到，则零件的体积与原来毛坯体积的比值为（▲）

A、
　　　　B、
　　　　C、
　　　　　D、

(7)执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（▲）

A. 6 　　　　　B. 11 　　　　　C. 16 　　　　D. 21

（8）定义运
，已知
则

(9)己知F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率

的取值范围是（▲）

A．(
，＋
) 　　B. (2，＋
) 　　C. (
，2) 　　D. (1,2)

（10）如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是

O，O1，O2，动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中

A, O，O1，O2,B五点共线），记点P运动的路程为x，设
，y与x的函数关系为y= f (x)

则y =.f (x)的大致图象是（▲）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

（11)已知f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，当x
(0, 2]时，f(x)＝
，则f (2015) = .

(12)以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线

为参数，
R）上的点到曲线
的最短距离是　　　　　　．

（13）已知

则

（14）己知实数x, y满足
，则x－2y的取值范围是　　　　　　．

（15）甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次：当有一人掷得的结果与其他·二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏．己知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是
，则下列结论中正确的是　　　　　（写出所有正确结论的编号）．

①第一局甲就出局的概率是
；

②第一局有人出局的概率是
；

③第三局才有人出局的概率是
；

④若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是
；

⑤该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于
·

三、解答题：

（16）(本题满分12分)

设函数
，其中向量
，
．

(Ⅰ)求函数
的最小正周期和在
上的单调递增区间； (Ⅱ)
中，角
的对边分别为
，且
，求
的取值范围．

（17）(本题满分12分)

某程序每运行一次都随机产生一个五位的二进制数
，其中
的各位数字中，
，且
为0和1的概率分别是
和
．记
，当程序运行一次时：

（Ⅰ）求
的概率；

（Ⅱ）求
的分布列和数学期望．

（18）（本小题满分12分）

如图，三棱锥
中，三条侧棱
两两垂直，且长度均为
，
分别是
的中点，过
作平面
，平面
与侧棱
相交于
，与侧棱
的延长线分别交于点
，且
．

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值．

（19）（本题满分13分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若函数
有极值
，求实数
的值；

（Ⅱ）若函数
在区间
上为增函数，求实数
的取值范围．

（20）（本小题满分13分）

如图，椭圆
与抛物线
有公共的焦点
．点
为椭圆
与抛物线
准线的交点之一，过
向抛物线
引切线
，切点为
，且点
都在
轴的右侧．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：直线
是椭圆
的切线．

（21）（本小题满分13分）

已知数列
中，
，且
．

（Ⅰ）若
，
，求
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
，求证：当
时，
．

2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测

高三理科数学答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

D

A

C

B

C

A

D

A





二、填空题：

（11）【答案】
.

（12）【答案】

（13）【答案】
.

（14）【答案】
.

（15）【答案】③④.

三、解答题：

（16）(本题满分12分)

解： (Ⅰ)

由
及

得
在[0，π]上单调递增区间为
． ………………6分

(Ⅱ)
，

………………9分

，

当C=
时，

………………………12分

（17）(本题满分12分)

【命题意图】本题考查随机变量的分布列与期望等基础知识，考查学生应用知识解决问题的能力，容易题.

解：（Ⅰ）已知
，要使
， 只须后四位数字中出现2个0和2个1

………… 5分

（Ⅱ）
的取值可以是1，2，3，4，5， …………… 6分

，
，
，

，
，

的分布列是

1

2

3

4

5



P













………… 10分

…………… 12分

（另解：记
，则
，
，
）

（18）（本小题满分12分）

【命题意图】本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力，中等题．

(Ⅰ) 证明：

，

； … 6分

(Ⅱ)以
为坐标原点，
分别为
正半轴，建立空间直角坐标系，

则
,
,
,
,
,
，

二面角
即为二面角
，

由
垂直知
，故
的法向量可以取
，

设
的法向量
，则有

，

令
得
，
，

所以二面角
的余弦值为
． …………… 12分

注：若学生第（Ⅱ）问给出正确的几何解法，请给分．

（19）（本题满分13分）

【命题意图】本题考查导数与不等式的应用，考查学生运算能力、推理思维能力和解决具体问题的能力，中等题.

（Ⅰ）
，
，

当
时，
，
在
上单减，无极值，

当
时，
在
上单减，在
上单增，

由题，
，故
； …………… 6分

（Ⅱ）
，
，

由题，
对
恒成立， …………… 8分

时，
，故
对
恒成立，

记
，则
，

故
在
上单减，又
，所以
． …………… 13分

（20）（本小题满分13分）

【命题意图】本题考查椭圆、抛物线的方程与性质，考查利用导数求曲线切线的方法，考查学生运算能力、分析问题的能力，较难题.

（Ⅰ）由题，抛物线
的准线为
，

代入椭圆
得点
，

抛物线
即
，
，

设点
，则切线
，

将点
代入上式，得：
，

即
，即
，

由于点
在
轴的右侧，所以点
，

从而
，

故
； …………… 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线
，即
，

，

整理得：
，即
，

该方程有两个等根
，故直线
是椭圆
的切线． …………… 13分

注：本题若有学生利用抛物线、椭圆的光学性质完成正确解答，请酌情给分．

（21）（本小题满分13分）

【命题意图】本题考查数列与不等式的综合运用，考查数学归纳法证明数列不等式，考查学生应用知识解决问题的能力，较难题.

（Ⅰ）当
，
时，
，
，

由累乘法得：
； …… 5分

（Ⅱ）法一：当
，
时，
，
，
，

当
时，由
知不等式成立；

假设
时，
，那么：

，

要证
，只需证
，

即证
，

而
，故
时不等式仍然成立，

综上，当
时，
． …………… 13分

（Ⅱ）法二：当
，
时，
，由于
，

所以
，且