天津市第一中学2015届高三四月考数学（文）试题

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1．已知
，
为虚数单位,若
,则实数
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知点
在不等式组
表示的平面区域上运动，则
的取值范围是（ ）

A.
　 B.
C.
D.
[

3．执行如图所示的程序框图，若输出的
的值为
，则图中判断框内①处应填（ ）

A．
B．
C．
D．

4．“
”是“函数
（
）在区间
上为增函数”的( )

A.充分不必要条件 　　　　　　　　 B.必要不充分条件　

　C.充要条件 　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

5．设
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

6．函数
的最小正周期是
，若其图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数
的图象( )

关于点
对称
关于直线
对称

关于点
对称
关于直线
对称

7．已知
是圆
：
上的两个点，
是
线段上的动点，当
的面积最大时，则
的最大值是（ ）

A.
B. 0 C.
D.

8．设
是定义在R上的偶函数，且
时，
，若在区间
内，函数
恰有1个零点，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在题中横线上）

9．已知集合
，
，则
__ _______

10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为
．直径为4的球的体积为
，则
______________

11．以抛物线
的焦点为圆心，且与双曲线
的两条渐近线都相切的圆的方程为__________________

12．如图，
是圆
的内接三角形，
是圆
的切线，
交
于点
,交圆
于点
，
,
，
，
，则
.

13．在等腰三角形
中，底边
，
，
，若
，则
＝______________

14．已知函数
，则方程
（
为正实数）的实数根最多有______个

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分13分）

某班20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：

(I) 求频率分布直方图中
的值；

(II) 分别求出成绩落在
与
中的学生人数；

(III) 从成绩在
的学生中人选2人，求此2人的成绩都在
中的概率.

16．（本小题满分13分）

已知函数
的部分图象如图所示.

(I) 求函数
的解析式，并写出
的单调减区间；

(II) 已知
的内角分别是A，B，C，若
的值.

17．（本小题满分13分）

如图在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,侧面

底面
，且
,设
、
分别为
、
的中点．

(Ⅰ) 求证：
//平面
；

(Ⅱ) 求证：面

平面
；

(Ⅲ) 求二面角
的正切值．

18．（本小题满分13分）

设等比数列
的前
项和为
，已知
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成公差为
的等差数列，设数列
的前
项和
，证明：
.

19．（本小题满分14分）

设椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，在
轴负半轴上有一点
，满足
，且
． （Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）
是过
三点的圆上的点，
到直线
的最大距离等于

椭圆长轴的长，求椭圆
的方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点
作斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点，线段
的中垂线与
轴相交于点
，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分14分）

已知函数
，
（其中
是实常数,
是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在区间
上的最小值；

(III) 若存在
，使方程
成立，求实数
的取值范围.

四月考数学（文科）答案

一、选择题

1．已知
，
为虚数单位,若
,则实数
（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】由已知得，
，∴
，则
.

2．已知点
在不等式组
表示的平面区域上运动，则
的取值范围是（ ）

A.
　 B.
C.
D.
[学_

【答案】C

3．执行如图所示的程序框图，若输出的
的值为
，则图中判断框内①处应填（ ）

A．
B．
C．
D．

4．“
”是“函数
（
）在区间
上为增函数”的( )

A.充分不必要条件 　　　　　　　　 B.必要不充分条件　

　C.充要条件 　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】
时，
在
上为增函数；

反之，
在区间
上为增函数，则
，故选
.

5．设
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

6．函数
的最小正周期是
，若其图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数
的图象( )

关于点
对称
关于直线
对称

关于点
对称
关于直线
对称

【答案】D

【解析】

7．已知
是圆
：
上的两个点，
是
线段上的动点，当
的面积最大时，则
的最大值是（ ）

A.
B. 0 C.
D.

8．设
是定义在R上的偶函数，且
时，
，若在区间
内，函数
恰有1个零点，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题

9．已知集合
，
，则
__ _______

10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为
．直径为4的球的体积为
，则
______________

11．以抛物线
的焦点为圆心，且与双曲线
的两条渐近线都相切的圆的方程为__________________

12．如图，
是圆
的内接三角形，
是圆
的切线，
交
于点
,交圆
于点
，
,
，
，
，则
.

【答案】4

13．在等腰三角形
中，底边
，
，
，若
，则
＝______________

14．已知函数
，则方程
（
为正实数）的实数根最多有______个

三、解答题

15．某班20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：

(I) 求频率分布直方图中
的值；

(II) 分别求出成绩落在
与
中的学生人数；

(III) 从成绩在
的学生中人选2人，求此2人的成绩都在
中的概率.

【答案】（I）
；（II）2,3；（III）
.

16．已知函数
的部分图象如图所示.

(I) 求函数
的解析式，并写出
的单调减区间；

(II) 已知
的内角分别是A，B，C，若
的值.

【答案】（I）

（II）
.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据函数的图象确定得到

结合图象可得
的单调递减区间为

（II）由（Ⅰ）可知
,

根据

得到
.

17．如图在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,侧面

底面
，且
,设
、
分别为
、
的中点．

(Ⅰ) 求证：
//平面
；

(Ⅱ) 求证：面

平面
；

(Ⅲ) 求二面角
的正切值．

17． (Ⅰ)证明：
为平行四边形

连结
，
为
中点，

为
中点∴在
中
//
　 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分

且

平面
，
平面
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

(Ⅱ)证明：因为面

面
　平面

面

　

为正方形，
，
平面

　所以
平面
　∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

又
，所以
是等腰直角三角形，

且
　　　即
．．．．．．．．．．．．．．．6分

　
，且
、

面
　　

面
．．．．．．．．．．．．７分

又
面
　　面
面
．．．．．．．8分

(Ⅲ) 【解】：设
的中点为
,连结
,
,

则
由(Ⅱ)知
面
,　

，
面
，
，

是二面角
的平面角 ．．．．．．．．．．．12分