天津市和平区2015届高三下学期第一次质量调查

数学(理)试题

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！

第Ⅰ卷 选择题（共40分）

注意事项:

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

如果事件
互斥,那么
如果事件
相互独立,那么

.
.

柱体的体积公式
. 其中
表示
锥体的体积公式
. 其中
表示

柱体的底面积,
表示柱体的高. 锥体的底面积,
表示锥体的高.

（4）设函数
若
,则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）设
R,则
是
的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件

（6）在△
中, 已知
是
的中点,
,点
在
上且满足
,则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）设变量
满足约束条件
则
的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）如图,
切圆
于点
,割线
经过圆心
,若
,
平分
,交圆
于点
,连接
交圆
于点
,则
的长等于

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷 非选择题（共110分）

注意事项:

1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.

（9）在
的展开式中,
的系数是 .

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的体积为 cm3.

（11）在△
中,
,
,若△
的面积等于
,则
边长为 .

（12）已知等比数列
的公比为正数,且
,
,则
等于 .

（13）已知直线
的参数方程为
（
为参数）,圆
的极坐标方程为
,则圆
的圆心到直线
的距离等于 .

（14）若不等式
对满足
≤
≤
的所有
都成立,则
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分13分）

已知向量

,

,

.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）当
时,求函数
的取值范围.

（16）（本小题满分13分）

在一次数学测试中,甲、乙两个小组各12人的成绩如下表:（单位:分）

甲组

91

86

82

75

93

90

68

82

76

94

92

64



乙组

77

84

95

81

98

69

72

88

93

65

70

85



若成绩在90分以上（包括90分）的等级记为“优秀”,其余的等级都记为“合格”.

（Ⅰ）在以上24人中,如果按等级用分层抽样的方法从中抽取6人,再从这6人中随机选出2人,求选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率；

（Ⅱ）若从所有等级为“优秀”的人当中选出3人,用
表示其中乙组的人数,求随机变量
的分布列和的数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图,在三棱锥
中,底面
是正三角形,
,
, 侧面
底面
,
分别为
的中点.

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值.

（18）（本小题满分13分）

已知数列
满足
,其前
项和
,且
,
N*.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
,并记
为数列
的前
项和,求证:
,
N*.

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆
（
）的离心率
,且它的左焦点
与右顶点
的距离
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆于
,
两点,连接
,
分别交直线
于
,
两点,求证:直线
与直线
的斜率之积为定值.

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