天津市河西区2015届高三下学期总复习质量调查（一）

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

·如果事件
，
互斥，那么

·如果事件
，
相互独立，那么

·柱体的体积公式

·锥体的体积公式

其中
表示柱（锥）体的底面面积

表示柱（锥）体的高





一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）
是虚数单位，
表示复数
的共轭复数．若
，则

（A）

（B）

（C）

（D）



（2）设
是公比为
的等比数列，则“
”是“
为递减数列”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件



（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，

则输出的
和
值分别为

（A）
，
（B）
，

（C）
，
（D）
，

（4）函数
的单调

递减区间为

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）已知双曲线
：
的焦距

为
，点
在
的渐近线上，则
的方程为

（A）

（B）

（C）

（D）



（6）设
的内角
，
，
所对边的长分别是
，
，
，且
，
，
.

则
的值为

（A）

（B）

（C）

（D）



（7）若
，
，
，则下列不等式中

①
；②
；③
；④
.

对一切满足条件的
，
恒成立的序号是

（A）①②

（B）①③

（C）①③④

（D）②③④



（8）在边长为
的正三角形
中，设
，
，若
，则
的值为

（A）

（B）

（C）

（D）



河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）

数 学 试 卷（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有40名，高二年级有50名现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 .

（10）一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为

，则正视图与侧视图中
的值为 .

（11）若二项式
的展开式中
的系数是
，则实数
.

（12）以平面直角坐标系的原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线
的参数方程是
(
为参数)，圆
的极坐标方程是
，则直线
被圆
截得的弦长为 .

（13）过圆外一点
作圆的切线
(
为切点)，

再作割线
依次交圆于
，
.若
，

，
，则
.

（14）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，

．若
，
，则实数
的取值范围为 .

三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

已知函数



的最小正周期为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）将函数
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最小值.

（16）（本小题满分13分）

某批产品成箱包装，每箱
件.一用户在购进该批产品前先取出
箱，设取出的
箱中，第一，二，三箱中分别有
件，
件，
件二等品，其余为一等品.

（Ⅰ）在取出的
箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取
次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；

（Ⅱ）在取出的
箱中，若该用户再从每箱中任意抽取
件产品进行检验，用
表示抽检的
件产品中二等品的件数，求
的分布列及数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图甲，在平面四边形
中，已知
,
,
,

,现将四边形
沿
折起，使平面

平面
（如图乙），设点
，
分别为棱
，
的中点．

（Ⅰ）证明

平面
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

（18）（本小题满分13分）

已知椭圆
：

的焦距为
，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设
为椭圆
的左焦点，
为直线
上任意一点，过
作
的垂线交椭圆
于点
，
，

①证明：
平分线段
(其中
为坐标原点)，

②当
值最小时，求点
的坐标．

（19）（本小题满分14分）

已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
，
，
成等比数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令

，求数列
的前
项和
.

（20）（本小题满分14分）

已知函数
，
，函数
的图象在点
处的切线平行于
轴．

（Ⅰ）确定
与
的关系；

（Ⅱ）试讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意
，都有
成立．

河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）

数学试卷（理工类）参考答案及评分标准

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

（15）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为

+
,

所以

…………2分

. …………4分

由于
,依题意得
,所以
. …………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

,

所以


. …………8分

当
时,
,

所以
,即
,…………12分

故
在区间
的最小值为
. …………13分

（16）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设
表示事件“从第三箱中有放回地抽取
次（每次一件），恰有两次取到二等品”，

依题意知，每次抽到二等品的概率为
， …………2分

故
. …………5分

（Ⅱ）解：
可能的取值为
，
，
，
． …………6分

，



，

，


.

…………10分

的分布列为























…………11分

数学期望为

. …………13分

（17）（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：在图甲中由
且

得
,
即

在图乙中，因为平面

平面
，且平面

平面
＝

所以
⊥底面
，所以
⊥
． …………2分

又
，得
⊥
,且
…………3分

所以

平面
． …………4分

（Ⅱ）解法1：由
、
分别为
、
的中点

得
//
，又由（Ⅰ）知，

平面
，

所以
⊥平面
，垂足为点

则
是
与平面
所成的角 …………6分

在图甲中，由
, 得
,

设

则
,
,
,
…………8分

所以在
中，