天津市河西区2015届高三下学期总复习质量调查（一）

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

·如果事件
，
互斥，那么

·如果事件
，
相互独立，那么

·柱体的体积公式

·锥体的体积公式

其中
表示柱（锥）体的底面面积

表示柱（锥）体的高





一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设全集为
，集合
，
，则

（A）

（B）

（C）

（D）



（2）设
是公比为
的等比数列，则“
”是“
为递减数列”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件



（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，

则输出的
和
值分别为

（A）
，
（B）
，

（C）
，
（D）
，

（4）设
，
，
， 则

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）已知双曲线
：
的焦距为
，点
在
的渐近线上，则
的方程为

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于
轴对称，

则
的最小正值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）若
，
，
，则下列不等式中

①
；②
；③
；④
.

对一切满足条件的
，
恒成立的序号是

（A）①② （B）①③ （C）①③④ （D）②③④

（8）在边长为
的正三角形
中，设
，
，若
，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）

数 学 试 卷（文史类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有
名，高二年级有
名现用分层抽样的方法在这
名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了
名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 .

（10）
是虚数单位，复数
.

（11）一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积

为
，则正视图与侧视图中
的值为 .

（12）函数
的单调递减区间为 .

（13）过圆外一点
作圆的切线
(
为切点)，

再作割线
依次交圆于
，
.若
，

，
，则
.

（14）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，

．若
，
，则实数
的取值范围为 .

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

某校书法兴趣组有
名男同学
，
，
和
名女同学
，
，
，其年级情况如下表：

一年级

二年级

三年级



男同学









女同学









现从这
名同学中随机选出
人参加书法比赛(每人被选到的可能性相同)．

（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；

（Ⅱ）设
为事件“选出的
人来自不同年级且性别相同”，求事件
发生的概率．

（16）（本小题满分13分）

设
的内角
，
，
所对边的长分别是
，
，
，且
，
，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值．

（17）（本小题满分13分）

如图甲，在平面四边形
中，已知
,
,
,

,现将四边形
沿
折起，使平面

平面
（如图乙），设点
,
分别为棱
,
的中点．

（Ⅰ）证明

平面
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

（18）（本小题满分13分）

已知椭圆
：

的焦距为
，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设
为椭圆
的左焦点，
为直线
上任意一点，过
作
的垂线交椭圆
于点
，
.证明：
平分线段
(其中
为坐标原点)．

（19）（本小题满分14分）

已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
，
，
成等比数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令

，求数列
的前
项和
.

（20）（本小题满分14分）

已知
，函数
.

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，证明：方程
在区间（2，
）上有唯一解；

（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的
且
，使
=
，

证明：
．

河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）

数学试卷（文史类）参考答案及评分标准

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.

（1） A

（2） D

（3） B

（4）C



（5） B

（6） C

（7） C

（8）D



二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.

（9）

（10）

（11）



（12）

（13）

（14）




（16）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为
，所以
，…………1分

由余弦定理得

， …………3分

所以由正弦定理可得
. …………5分

因为
，
，所以
，即
. …………6分

（Ⅱ）解：由余弦定理得

.…………8分

因为
，所以


. …………10分

故

. …………13分

（17）（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：在图甲中由
且

得
,
即

在图乙中，因为平面

平面
，且平面

平面
＝

所以
⊥底面
，所以
⊥
． …………2分

又
，得
⊥
,且
…………3分

所以

平面
． …………4分

（Ⅱ）解法1：由
、
分别为
、
的中点

得
//
，又由（Ⅰ）知，

平面
，

所以
⊥平面
，垂足为点

则
是
与平面
所成的角 …………6分

在图甲中，由
, 得
,

设

则
,
,
,
…………8分

所以在
中，

即
与平面
所成角的正弦值为
． …………9分

解法2：如图，以
为坐标原点，
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系如下图示，

设
，则

，
…………6分

可得
,
,
,
，
，

所以
,
…………8分

设
与平面
所成的角为

由（Ⅰ）知

平面

所以

即
…………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知
⊥平面
，

又因为

平面