安徽省安庆市2015届高三第二次模拟考试

数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知
是虚数单位,复数
满足
,则复数
等于

A.
B.
C.
D.

2.已知椭圆
的离心率为
,则实数
等于

A.2 B.2或
C.
或6 D.2或8

3.设随机变量
服从正态分布
,且
在
上取值的概率为0.8,则
在(0,3)上取值的概率为

A.0.2 B.0.3 C.0.8 D.0.1

4.在等比数列
中,
,且
是
和
的等差中项,则
的公比为

A.2 B.3 C.2或3 D.6

5.在极坐标系中,曲线
上的两点
对应的极角分别为
,则弦长
等于

A.1 B.
C.
D.2

6.已知点
是边长为1的正方形
的对角线
上的任意一点,
于
,
于
,则
等于

A.1 B.

C.
D.

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

8.某村2014年的农业年生产总值为2000万元,在2015年中,大力推进绿色生态农业,预计以后每年的农业生产总值都比上一年增长10%,现设计了一个程序框图计算预计农业年生产总值首次超过3000万元的年份,那么图中的※处和最后输出的结果应是

A.
B.
C.
D.

9.设实数
满足
,且
,则

A.有最小值9 B.有最大值9 C.有最大值1 D.有最小值1

10.已知函数
其中
,设
为
的一个 零点,若
,则符合条件的
的值有

A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.

11.若
的展开式的常数项是
,则实数

12.设实数
满足
,则
的取值范围是

13.已知命题
函数
的值域为
,命题
对任意的
,不等式
恒成立,若命题
为真命题,则实数
的取值范围是

14.若函数
的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为

15.规定:坐标轴绕着原点逆时针旋转的角度为正角,顺时针旋转的角度为负角,不改变坐标轴的原点和长度单位,只将两坐标轴旋转同一个角度
,这种坐标轴的变换叫做坐标轴的
角旋转,简称转轴
,将平面直角坐标系
转轴
得到新坐标系
,设点
在两个坐标系中的坐标分别为
和
,则下列结论中错误的是 (把你认为错误的所有结论的序号都填上)

①与
轴垂直的直线转轴后一定与
轴垂直;②当
时,点
在新坐标系中的坐标为
;③当
时,反比例函数
的图象经过转轴后的标准方程是

④当
时,直线
的图象经过转轴后的直线方程是

⑤点
在两个坐标系中坐标之间的关系是

三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16(本小题满分12分)

如图所示,在平面四边形
中,
.

(Ⅰ)当
时,求
的面积;

(Ⅱ)设
,记四边形
的周长为
,求
的表达式,并求出
的最大值.

17(本小题满分12分)

为美化环境,某小区物业计划在小区内种植甲,乙,丙,丁四棵树苗,受环境影响,甲,乙两棵树苗成活率均为
,丙,丁两棵树苗成活率均为
,每棵树苗成活与否相互没有影响.

(Ⅰ)若甲,乙两棵树苗中有且仅有一棵成活的概率与丙,丁两棵树苗都成活的概率相等,求
的值

(Ⅱ)设
为最终成活的树苗的数量,求
的概率分布列及数学期望值.

18(本小题满分12分)

如图所示,在四棱柱
中,底面
是梯形,
,侧面
为菱形,

.

(Ⅰ)求证:
;

(Ⅱ)若
,点
在平面
上的射影恰为线段
的中点,求平面

与平面
所成锐二面角的余弦值.

19(本小题满分13分)

已知抛物线
,四边形
内接于抛物线,如图所示.

(Ⅰ)若直线
的斜率均存在,分别记为
,求证:
;

(Ⅱ)若直线
的斜率互为相反数,且弦
轴,求证:直线
与抛物线在点
处的切线平行.

20(本小题满分13分)

已知函数
.

(Ⅰ)若
在区间
上为单调递增函数,求实数
的取值范围;

(Ⅱ)若
,设直线
为函数
的图象在
处的切线,求证:
.

21(本小题满分13分)

已知数列
满足
.

(Ⅰ)求证:对任意
;

(Ⅱ)判断数列
的单调性,并说明你的理由;

(Ⅲ)设
为数列
的前
项和,求证:当
时,
.

2015年安庆市高三模拟考试（二模）

数学试题(理科) 参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

B

B

C

D

A

B

C

B



1.A【解析】
，选
.

2.D【解析】显然
且
.当
时，椭圆长轴在
轴上，则
，解得
；当
时，椭圆长轴在
轴上，则
，解得
，选
.

3.B【解析】因为
服从正态分布
，所以
，
，所以
.选
.

4.B【解析】设公比为
，由已知
，
得
解得
或
，但
不符合.选
.

5.C【解析】
、
两点的极坐标分别为
、
，化为直角坐标为
、
，故
，选
.

6.D【解析】设
，
，
，
（
，
），根据题意可知
，
，
，
，
，且
. 所以
，
，
，故

.选
.（注：也可用坐标法或特殊位置法求解.）

7. A【解析】该几何体的直观图如图所示.

.选
.

8.B【解析】
. 因为
，
，所以
的最小正整数值为5.选
.

9.C【解析】因为
，所以
.

又
，
，所以
，故
.

当且仅当
时取等号. 选
.

10.B【解析】
. 因为
，

所以
，解得
.由
知
，
，
，
.当
时，
；当
时，
；当
时，

；当
时，
.

故，符合条件的
的值有2个.选
.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)

11.
，【解析】
，由
，

得
，
.

12.
，【解析】由题意，可行域如图所示，

则
，
，所以
，故.

13.
，【解析】函数
的值域为
；对任意的
，不等式
恒成立
，所以若命题
为真命题，则
；
的范围为
.

14.
，【解析】由图可知，
，
，

由
得
，又
，

得
，由图知
，
，

由
，得
所以
，

阴影部分面积


.

15.（1），（2），（3），【解析】（1）因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转，而直线并不随着旋转，错误；（2）点
在新坐标系中的坐标应为
，错误；（3）
时，函数
的图象经过转轴后的标准方程是
，错误；

（4）直角坐标系
中的直线
，在坐标系
中倾斜

角为
，且经过点
，故转轴后的直线方程是

，正确；（5）证明如下：设
，
，

则
，

，正确.

三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．（本题满分12分）

【解析】（Ⅰ）在△
中，
，
，

，根据余弦定理可得
. ………2分

在△
中，因为
°，所以当
时，
，

根据正弦定理可得
，
.

的面积
. ……… 5分

（Ⅱ）在△
中，由
，得
，
， ……… 7分

所以

…9分

因为
，所以当且仅当
时，
有最大值
.

从而
的最大值为
. ……… 12分

17．（本题满分12分）

【解析】（Ⅰ）
，
………4分

（Ⅱ）
可取0、1、2、3、4

=

………7分

∴
的分布列为

0

1

2

3

4

















 ………9分

+

∴
. ………12分

18.（本小题满分12分）

【解析】解一：（Ⅰ）因为侧面
为菱形，所以
，又
，

所以

，

从而
. ………5分

（Ⅱ）设线段
的中点为
，连接
、
，由题意知
平面
.因为侧面
为菱形，所以
，故可分别以射线
、射线
、射线
为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系
，如图1所示.

设
，由
可知
，
，所以
，从而
，
，
，
. 所以
.

由
可得
，所以
. ………7分

设平面
的一个法向量为
，由
，
，

得
取
，则
，
，所以
. ………9分

又平面
的法向量为
，所以
.

故平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. ………12分

解二：（Ⅰ）连接
、
、
，设
交
于点
，

连
，如图2所示.

由
，
可得△
≌△
，

所以
.由于
是线段
的中点，所以
，

又根据菱形的性质
，所以
平面
，

从而
. ………5分

（Ⅱ）因为
，
，所以延长
、
交于点
，

延长
、
交于点
，且
，
.连接
，

则
.过点
作
的