山东省枣庄市枣庄五中2015届高三4月模拟考试数学文试题

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．下面是关于复数
的四个命题：
，
，
的共轭复数为
，
的虚部为
．其中真命题为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．函数
是奇函数的充要条件是

A．
B．
C．
D．

4．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是

A．24 B．
C．36 D．

5．已知x，y满足
的最大值是最小值的4倍，则
的值是

A．4 B．
C．
D．

6．如图，在
是边BC上的高，则
的值等于

A．0 B．4 C．8 D．

7．已知函数
是函数
的导函数，则
的图象大致是

8．函数
的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象

A．向左平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位

C．向右平移
个长度单位 D．向左平移
个长度单位

9．已知抛物线
上一点
到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是

A．
B．
C．
D．

10．已知定义域为R的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，则
的大小关系正确的是

A．
B．
C．
D．

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．在
中，若
________．

12．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（下图），但是年龄组为
的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在
的人数为______．

13．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为________．

14．已知函数
则满足
的实数a的取值范围是________．

15．已知数集
具有性质p：对任意
，均有
_________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．（本小题满分12分）

某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．

（I）求抽取的5人中男、女同学的人数；

（II）考核前，评估小组打算从抽取的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．

17．（本小题满分12分）

已知函数
的最大值为2，且最小正周期为
．

（I）求函数
的解析式及其对称轴方程；

（II）若
的值．

18．（本小题满分12分）

如图，已知四边形ABCD是正方形，
平面ABCD，CD=PD=2EA,PD//EA，F，G，H分别为PB，BE，PC的中点．

（I）求证：GH//平面PDAE；

（II）求证：平面
平面PCD．

19．（本小题满分12分）

已知数列
中，

（I）证明数列
是等比数列；

（II）若
是数列
的前n项和，求
．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
，其中
为左、右焦点，且离心率
，直线l与椭圆交于两不同点
．当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
时，原点O到直线l的距离为
．

（I）求椭圆C的方程；

（II）若
面积为
时，求
的最大值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，其中e为自然对数的底数．

（I）求曲线
在点
处的切线方程；

（II）若对任意
，不等式
恒成立，求实数m的取值范围；

（III）试探究当
时，方程
的解的个数，并说明理由．

2015届山东省枣庄市枣庄五中高三4月模拟考试

文科数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

答案：1-10 DBCBD BACAC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

答案：11．1 12．160 13．
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为
，女同学的人数为
．……4分

（Ⅱ）记3名男同学为
，2名女同学为
．从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有

，共10个． ………7分

用
表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则
中的结果有6个，它们是：

． ……………10分

所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率
． ………………12分

17．解：（Ⅰ）
，

由题意
的周期为
，所以
，得
………………2分

最大值为
，故
，又
，

∴
………………4分

令
，解得
的对称轴为
． ……………… 6分

（Ⅱ）由
知
，即
， ………………8分

∴
………………10分

………………12分

18．解：（Ⅰ）分别取
的中点
的中点
连结
．

因为
分别为
的中点，所以

因为
与
平行且相等，所以
平行且等于
,

故四边形
是平行四边形．所以
．…………4分

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
． ………………6分

(若通过面面平行来证明也可，酌情给分)

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
平面
，所以
．

因为
所以
平面
．

因为
分别为
的中点，所以

所以
平面

因为
平面
，所以平面
平面
． ……………12分

19．解：（Ⅰ）设
，则
，………………2分

因为

所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．……………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，

即
， …………………8分

由
，

得
， …………………10分

所以
，

，……………………………………12分

20．解：（Ⅰ）因为直线
的倾斜角为
，
，

所以，直线
的方程为
，

由已知得
，所以
．

又
，所以
，
,

椭圆
的方程
． ………………4分

（Ⅱ））当直线
的斜率不存在时，
两点关于
轴对称，则
，

由
在椭圆上，则
，而
，则

知
=
． ……………………………………5分

当直线
的斜率存在时，设直线
为
，代入
可得

，即
，由题意
，即
．

． ……………………………………7分

，
,

化为
，
，

即
．

则
，满足
, ……………………………………9分

由前知
，
，

．

………………………11分

，当且仅当
，即
时等号成立，

故
．

综上可知
的最大值为
． ……………………………………13分

21．解：（Ⅰ）依题意得，

，

．

所以曲线
在点
处的切线方程为
． ……………………4分

（Ⅱ）等价于对任意
，
． 5分

设
，
．

则

因为
，所以
，

所以
，故
在
单调递增， 6分

因此当
时，函数
取得最小值
； 7分

所以
，即实数
的取值范围是
． 8分

（Ⅲ）设
，
．

①当
时，由（Ⅱ）知，函数
在
单调递增，

故函数
在
至多只有一个零点，

又
，而且函数
图象在
上是连续不断的，

因此，函数
在
上有且只有一个零点． 10分

②当
时，
恒成立．证明如下：

设
，则
，所以
在
上单调递增，

所以
时，
，所以
，

又
时，
，所以
，即
，即
．

故函数
在
上没有零点． 11分

③当
时，
，所以函数
在
上单调递减，故函数
在
至多只有一个零点，

又
，而且函数
在
上是连续不断的，

因此，函数
在
上有且只有一个零点． 13分

综上所述，
时，方程
有两个解． 14分

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