山东省枣庄市枣庄五中2015届高三4月模拟考试数学理试题题

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，集合
，
，则

A．
B．

C．
D．

2．已知复数
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．下列命题的说法错误的是

A．命题“若
则
”的逆否命题为：“若
, 则
”.

B．“
”是“
”的充分不必要条件.

C．对于命题

则

D．若
为假命题，则
均为假命题.

4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

5．已知x，y满足
的最大值是最小值的4倍，则
的值是

A．
B．
C．
D．4

6．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为

A．1008 B．2015 C．1007 D．

7．已知函数
是函数
的导函数，则
的图象大致是

8．已知函数
则满足
的实数a的取值范围是

A．
B．

C．
D．

9．在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC（k为常数，且
），BD=l为定长，则△ABC的面积最大值为

A．
B．
C．
D．

10．已知定义域为R的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，则
的大小关系正确的是

A．
B．
C．
D．

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若双曲线
的离心率为2，则
________．

12．设随机变量
，则
____．

13．如图，在
中，若
________．

14．学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法．

15．圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为_________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．（本小题满分12分）

已知函数
的最大值为2，且最小正周期为
．

（I）求函数
的解析式及其对称轴方程；

（II）若
的值．

17．（本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面
平面ABC，
是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在
的平分线上．

（I）求证：DE//平面ABC；

（II）求二面角
的余弦值．

18．（本小题满分12分）

学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分．现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”．

（I）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；

（II）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记
表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求
的分布列及数学期望．

19．（本小题满分12分）

已知数列
中，

（I）求证：数列
是等比数列；

（II）若
是数列
的前n项和，求满足
的所有正整数n．

20．（本小题满分13分）

已知函数
，其中e为自然对数的底数．

（I）求曲线
在点
处的切线方程；

（II）若对任意
，不等式
恒成立，求实数m的取值范围；

（III）试探究当
时，方程
的解的个数，并说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知椭圆
，其中
为左、右焦点，O为坐标原点．直线l与椭圆交于
两个不同点．当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为
时，原点O到直线l的距离为
．又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为
．

（I）求椭圆C的方程；

（II）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为
时，求平行四边形OQNP的对角线之积
的最大值；

（III）若抛物线
为焦点，在抛物线C2上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C2于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标．

2015届山东省枣庄市枣庄五中高三4月模拟考试

理科数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1-10DADBB DADCA

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
; 12．0．2 ; 13．
; 14．10 ； 15．
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解析：（Ⅰ）

,

由题意知：
的周期为
，由
，知
………………………2分

由
最大值为2，故
，又
，

∴
……………………………………………………………4分

令
，解得
的对称轴为
…………………6分

（Ⅱ）由
知
，即
，

∴
………………………10分

…………………………………………12分

17．解析：（Ⅰ）证明：由题意知，
，
都是边长为2的等边三角形，取
中点
，连接
，则
，
，

又∵平面
⊥平面
，∴
⊥平面
，作
⊥平面
，

那么
，根据题意，点
落在
上，

∴
，易求得
，

∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
平面
…………6分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系
，可知平面
的一个法向量为
,
,
,
,

设平面
的一个法向量为
,

则，
可求得
．………………9分

所以
，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，

所以二面角
的余弦值为
．……12分

18．解：（Ⅰ）设
表示所取3人中有
个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件
，则
………6分

（Ⅱ）
的可能取值为0、1、2、3 ,

;
;

;
．

分布列为























……………10分

． ………12分

注：用二项分布直接求解也可以．

19．解：（Ⅰ）设
，

因为

=
=
,

所以数列
是以
即
为首项，以
为公比的等比数列． ……… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，即
，

由
，得
，

所以

，

10分

显然当
时，
单调递减，

又当
时，
＞0，当
时，
＜0，所以当
时，
＜0；

，

同理，当且仅当
时，
＞0，

综上，满足
的所有正整数
为1和2．…………………………………… 12分

20．解：（Ⅰ）依题意得，

，

,

所以曲线
在点
处的切线方程为

………………………………………4分

（Ⅱ）等价于对任意
，
．

设
，
．

则

因为
，所以
，

所以
，故
在
单调递增，

因此当
时，函数
取得最小值
；

所以
，即实数
的取值范围是
． ………………………………10分

（Ⅲ）设
，
．

当
时，
，所以函数
在
上单调递减，故函数
在
至多只有一个零点，

又
，而且函数
在
上是连续不断的，

因此，函数
在
上有且只有一个零点．…………………………………13分

21．解析：（Ⅰ）直线
的倾斜角为
，
，直线
的方程
，

，
，
为椭圆
上任一点，

=
=
≥
，
,

当
时，
，
，
,

椭圆
的方程
．．………………………5分

（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，
两点关于
轴对称，则
，

由
在椭圆上，则
，而
，则
,

知
=
．

当直线
的斜率存在时，设直线
为
，代入
可得

，

即
，

，即
,

,

,

，
,

化为
，
，

,

得到，
,则
，满足
,

由前知
，
，

设M是ON与PQ的交点，则

,

,

，当且仅当
，

即
时等号成立，

综上可知
的最大值为
．

=2
的最大值为5．………………………10分

（Ⅲ）因为以
为直径的圆与
相交于点
，所以∠ORS = 90°，即
,

设S （
，
），R（
，
），
＝（
-
，
-
），
=（
，
）,

所以
,

因为
，
，化简得
,

所以
，

当且仅当
即
＝16，y2＝±4时等号成立．

圆的直径|OS|=
,

因为
≥64，所以当
＝64即
=±8时，
，

所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）．．……………………14分

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