绝密★启用前

鹰潭市2015届高三第一次模拟考试

数学试题(文科)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．设复数
，则
的共轭复数是（ ）

A.
B.
C.
D.

2．己知集合
，则下列结论正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．设双曲线
的渐近线方程为
，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
　　 B．2　　　　 C．
　 D．

4．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数(　　)

A．
的图像上 B．
的图像上

C．
的图像上 D．
的图像上

5．已知命题p: 已知实数
，则
是
且
的必要不充分条件，

命题
:在曲线
上存在斜率为
的切线，

则下列判断正确的是 ( )

A．
是假命题 B．
是真命题

C．
是真命题 D．
是真命题

6．设
满足约束条件
若目标函数

的最大值是12，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）（单位
）

A.
B .
C .
D. 32

8．
，且
则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知曲线
与
轴的交点为
，分别由
两点向直线
作垂线，垂足为
，沿直线
将平面
折起，使
，则四面体
的外接球的表面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．定义
为
个正数
的“均倒数”．若已知数列
的前
项的“均倒数”为
，又
，则
=( )

A．
B．
C．
D．

11．已知椭圆
与圆
，若在椭圆
上存在点P，过P作圆的切线PA,PB,切点为A,.B使得
，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．函数
的定义域为
，数列
是公差为
的等差数列，且
，记
，关于实数
，下列说法正确的是（ ）

A．
恒为负数 B．
恒为正数

C．当
时，
恒为正数；当
时，
恒为负数

D．当
时，
恒为负数；当
时，
恒为正数

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．某校对全校男女学生共1 600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是_______人．

14．定义在R上的可导函数
，已知y=2f ' (x)的图象如图所示，

则
的减区间是_______

15．在
中，
，O为
的内心，且

则
= .

16．已知数列
满足
且
若函数

，记
则数列
的前9项和为 .[解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）设
是锐角三角形，
分别是内角
所对边长，并且
.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ) 若
，
，
为
的中点，求
的长．

18．（本小题满分12分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的
列联表,

优秀

非优秀

合计



甲班









乙班









合计











（1）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；

（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.

参考公式与临界值表：
.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱
中，O是AC的中点，A1O⊥平面
，
，
.

（I）求证： AC1⊥平面A1BC;

（II）若AA1=2，求点C到平面
的距离。

20．（本小题满分12分） 已知函数
，在
处的切线与直线
垂直，函数

（1）求实数
的值；；

（2）设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值。

21．（本小题满分12分）已知抛物线
，直线

与抛物线交于
两点．

（Ⅰ）若
轴与以
为直径的圆相切，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线与
轴负半轴相交，求
面积的最大值。

【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
，
分别为

的边
，
上的点，且不与
的顶点重合。已知
的长为m，
的长为n，AD,
的长是关于
的方程
的两个根。

（Ⅰ）证明：
，
，
，
四点共圆；

（Ⅱ）若
，且
，求
，
，
，
所在圆的半径。

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

已知极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以
正半轴为极轴，已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程是
（
为参数，
，射线
与曲线
交于极点
外的三点

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）当
时，
两点在曲线
上，求
与
的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）解不等式
；

（2）对任意
，都有

成立，求实数
的取值范围.

绝密★启用前

鹰潭市2015年高三第一次模拟考试

数学试题(文科)答案

一、选择题：

1--4 DDCD 5--8 CDBC 9--12 BBAA

二、填空题：

(13) 760 (14)
(15)
(16) -9

解答题：

17.解：（1）易知

.................6分

...........12分

18.解（1）假设成绩与班级无关，则

则查表得相关的概率为99％，故没达到可靠性要求。 ……………6分

（2）设“抽到
或
号”为事件
，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为
.

所有的基本事件有:
、
、
、
、
共
个. ……………9分

事件
包含的基本事件有:
、
、
、
、
、
、
共7个

所以
,即抽到9号或
号的概率为
. ……………12分

19．证明：（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．

又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，所以AC1⊥BC． ………2分

因为AA1＝AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A1C．

所以AC1⊥平面A1BC． ………6分

（Ⅱ）设三棱锥C-A1AB的高为h．

由（Ⅰ）可知，三棱锥A-A1BC的高为AC1＝．

因为VC-A1AB＝VA-A1BC，即S△A1ABh＝S△A1BC·．

在△A1AB中，AB＝A1B＝2，AA1＝2，所以S△A1AB＝． ………10分

在△A1BC中，BC＝A1C＝2，∠BCA1＝90(，所以S△A1BC＝BC·A1C＝2．

所以h＝． ………12分

20．解：（1）∵
，

∴
，∵
在
处的切线
与直线
垂直，

∴
，解得
． ..........4分

（2）∵
，

∴
，∴
..........6分

∴

∵
，∴设
，令
则
，∴
在（0，1）上单调递减，

又∵
，∴
，即
，

，故所求的最小值为
..........12 分

21.（1）联立
，化简得

由
，解得
……………2分

设
则

设圆心
则有

，解得
…………4分

所以
，圆心
，故圆的方程为
...6 分

（Ⅱ）因为直线与
轴负半轴相交，所以
，

又与抛物线交于两点，由（1）知
，所以
，……………7分

直线：
整理得
，点
到直线的距离
，











＋

0

－







极大





所以
．……………9分

令
，
，
，

由上表可得
的最大值为
．

所以当
时，
的面积取得最大值
．……………12分

22. 证明：（Ⅰ）连结DE,根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC

即
,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE～△ACB

因此∠ADE=∠ACB,所以C,B,D,E四点共圆。……………5分

（Ⅱ）m=4,n=6,方程
的两根为2,12.即AD=2，AB=12

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线交于点H，连结D,H,因为C,B,D,E四点共圆，所以圆心为H,半径为DH.由于∠A=900

故GH∥AB,HF∥AC.从而HF=AG=5，DF=5，故半径为5
.……………10分

23.解 （1）依题意
则

+
4cos
……………2分

=
+
=

=
……………5分

（2） 当
时，B,C两点的极坐标分别为
化为直角坐标为B
，C
…………….7分

是经过点
且倾斜角为
的直线，又因为经过点B,C的直线方程为
………….9分

所以

…………10分

24．解：（1）

-2 当
时，
, 即
，∴
；

当
时，
,即
,∴

当
时，
, 即
, ∴1


6

综上，{
|



6} ………5分

（2）
函数
的图