绝密★启用前 试卷类型：A

茂名市2015年第二次高考模拟考试

数学试卷（理科） 2015.4

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁. 考试结束后，将答题卷交回。

参考公式：锥体的体积公式是：
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高。

第一部分 选择题（共40分）

选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 设集合
,
,则
= （　　）.

A．
B．
C．
D．

2. 复数
为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ）.

A．
B．
C．
D．

3. 若离散型随机变量
的分布列为

则
的数学期望
＝(　 　).

A．2 B．2或
C．
D．1

4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.

A．
B．
C．
D．4

5. 设变量
满足约束条件
，则
的最小值为（ ）.

A. -3　　　　　 　B. -1　　　　 　C．13　　 　D．-5

6. 已知等差数列
的前
项和为
，
，则
( ).

A． 2 B．3 　 C．4 D．5

7. 在△
中,
,
,则△
的面积为（　　）.

A．3 B．
C．6 D．4

8. 若函数
在实数集
上的图象是连续不断的，且对任意实数
存在常数
使得

恒成立，则称
是一个“关于
函数”．现有下列“关于
函数”

的结论：①常数函数是“关于
函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③

是一个“关于
函数”．其中正确结论的个数是 ( ).

A．1 B．2 C．3 D．0

第二部分 非选择题（共110分）

二、填空题：（考生作答6小题，每小题5分，共30分）

（一）必做题（9～13题）

9. 不等式
的解集为 .

10. 已知
是定义在
上的奇函数，当
>0 时,

＝1＋
，则
＝ .

11. 如图所示的流程图，若输入
的值为2，则输出
的值为 .

12. 已知直线
与曲线
相切于点(1，3)，

则
的值为 .

13. 已知抛物线
与双曲线
有相

同的焦点
，
是坐标原点，点
、
是两曲线的交点，若

，则双曲线的实轴长为 .

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分）。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数),则圆心到直线
的距离为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，
是圆
的切线，切点为
，点

在圆
上，
，
，则圆
的面积为 .

三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共80分）

16. （本小题满分12分）

已知函数
图象的一部分如图所示.

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，
,

,求
的值.

17. （本小题满分12分）

从某企业的某种产品中随机抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）求这500件产品中质量指标值落在区间
内的产品件数；

（2）以这500件产品的样本数据来估计总体数据，若从该企业的所有该产品中任取2件，记产品质量指标值落在区间
内的件数为
，求随机变量
的概率分布列.

18. （本小题满分14分）

在四棱锥
中,
平面
,
,底面
是梯形,
∥
，

（1）求证:平面
平面
;

（2）设
为棱
上一点,
,试确定

的值使得二面角
为60o.

19. （本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
，且有
, 点
在直线
上.

（1）求数列
的通项公式；

（2）试比较
与
的大小,并加以证明.

20. （本小题满分14分）

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆
过点
，

离心率为
，过直线
上一点
引椭圆
的两条切线，切点分别是
、
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若在椭圆
上的任一点
处的切线方程是
.求证：直线
恒过定点
，并求出定点
的坐标；

（3）是否存在实数
，使得
恒成立？(点
为直线
恒过的定点)若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

21. （本小题满分14分）

设函数

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）设
是函数
图象上任意不同的两点，线段
的中点为C
，直线AB的斜率为
. 证明：
；

（3）设
，对任意
，都有

，求实数
的取值范围.

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茂名市2015年第二次高考模拟考试

数学试卷（理科）参考答案及评分标准

选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

C

B

A

C

D

B



提示：8. ① ③正确，①对任一常数函数
，存在
,有

所以有
，所以常数函数是“关于
函数”②“关于2函数”为

，当函数
不恒为0时有

与
同号

定义在实数集
上的函数
的图象是连续不断的，
图象与
轴无交点，即无零点。③对于
设存在
使得
，即存在
使得
，也就是存在
使得
，也就是存在
使得
，此方程有解，所以③正确。

二、填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）

9.
； 10.
； 11. 7 ；12. 3； 13.
； 14. 2 ； 15.

提示:13.
抛物线
与双曲线
有相同的焦点
，
点的坐标为（1，0），

，

⊥
轴.设
点在第一象限，则
点坐标为（1，2）设左焦点为
，则
=2,由勾股定理得

，由双曲线的定义可知
.

三、解答题（本大题共80分）

16. 解：（1）由图象可知
， …………………………………………………………1分

. ………………………3分

. ………………………4分

（2）∵
∴
，………………6分

又∵
∴
，……………8分

∵
，

. ………………………………………10分

∴

………………………………12分

17. 解：（1）产品质量指标值落在区间
内的频率为（0.022+0.033）×10=0.55

∴质量指标值落在区间
内的产品件数为0.55×500=275 …………………4分

（2）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间
内的概率为

0.1， …………………………………………………………………………………6分

由题意可得:
～B(2,0.1)

∴
,

,

.

∴
的概率分布列为

0

1

2



P

0.81

0.18

0.01



…………………………12分

18. （1）证明：∵
平面
，

∴

在梯形
中，过点作
作
，

在
中，

又在
中，

.……3分

.

………………………………5分

.

…………………………………………………………………………6分

……………………………………………7分

（2）法一：过点
作
∥
交
于点
,过点
作
垂直于
于点
,连
. ……8分

由（1）可知
平面
,

平面
,

,

平面
,

，

是二面角
的平面角，

…………………10分

‖
，

，

由（1）知