商丘市2015年高三第二次模拟考试

数 学（理科）

本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。满分为150分，考试时间为120分钟。考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

（1）已知集合
,
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）复数
为纯虚数，若
(
为虚数单位)，则实数
的值为

（A）
（B）
　 （C）
　 （D）

（3）已知向量a = (
,1)，b = (0, -1)，c = (k,
)，若a - 2b与c共线，则
的值为

（A）
（B）
　 （C）
　 （D）

（4）下列命题，真命题是

（A）
的充要条件是
（B）
R，

（C）
R，
（D）若
为假，则
为假

（5）设双曲线的一个焦点为
，虚轴的一个端点为
，如果直线
与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
　 （D）

（6）在递增的等比数列
中，已知
，
，且前
项和为
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）已知直线
与曲线
相切，

则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）若将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象关于
轴对称，则
的最小正值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为
的正方形，如图所示，则它的体积为

（A）
（B）

（C）
（D）

（11）已知以
为焦点的抛物线
上的两点
满足
，

则弦
中点到准线的距离为

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）已知定义在R上的函数
对任意
都满足
，且当
时，
，则函数
的零点个数为

（A）
（B）
　 （C）
　 （D）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

（13）设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 .

（14）设
，则
展开式的常数项为 .

（15）已知
的三个顶点在以
为球心的球面上，且
，
，球心
到平面
的距离为
，则球
的表面积为 .

（16）
的内角
的对边分别为
，已知
，
，则
.

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（17）（本小题满分12分）

已知正项等差数列
的前
项和为
，且满足
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，
，求数列
的前
项和
.

（18）（本小题满分12分）

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物
次，最后落入
袋或
袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、

右两边下落的概率分别是
、
.

（Ⅰ）分别求出小球落入
袋和
袋中的概率；

（Ⅱ）在容器的入口处依次放入
个小球，记
为落入
袋中的小球个数，求
的分布列和数学期望．

（19）（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥
的底面为

菱形，
，
，

.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线
与以椭圆
的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为椭圆
上一点，若过点
的直线
与椭圆
相交于不同的两点
和
，满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知函数
(
R)．

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若对任意实数
，当
时，函数
的最大值为
，求
的取值范围．

请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形
内接于⊙
，过点
作⊙
的切

线
交
的延长线于
，已知
.

证明：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

（23）（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与
轴的正半轴重合，直线
的极坐标方程为：
，曲线
的参数方程为：

（Ⅰ）写出直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线
上的点到直线
的距离的最大值.

（24）（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲

已知关于
的不等式
，其解集为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
均为正实数，且满足
，求
的最小值.

商丘市2015年?高三第二次模拟考试

数学（理科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分） DAAC DDBB CDAB

二、填空题（每小题5分，共20分） （13）
； （14）
； （15）
； （16）
.

三、解答题（共70分）

（17）解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列
的首项为
，公差为
，
，

则
………………………………………………………2分

得
………………………………………………………………………………4分

. …………………………………………………………6分

法二：
是等差数列且
，
，

又
………………………………………………………………………2分

，
， …………………………………3分

, …………………………………………………………4分

. …………………………………………………6分

（Ⅱ）
，且
，
.

当
时，

，…………………8分

当
时，
满足上式，
. ……………………………9分

. ……………………………………………10分

.………………………12分

（18）解：（Ⅰ）记“小球落入
袋中”为事件
，“小球落入
袋中”为事件
，则事件
的对立事件为事件
. …………………………………………………………1分

而小球落入
袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，

故
, …………………………………………3分

从而
.…………………………………………………4分

（Ⅱ）显然，随机变量
的所有可能取值为
.……………………………………5分

且
.…………………………………………………………………………6分

故
，
，

，
，

.

则
的分布列为

0

























……………………………………………10分

故
的数学期望为
. …………………………………………12分

（19）解：（Ⅰ）证明：取
的中点
，连接
．

∵
，∴
.………………………………………………………1分