2014——2015学年高中三年级第二次统一考试

数学试卷（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上．

2．考试结束，将答题卷交回．

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则复数z的实部与虚部之和为

A．0 B．1 C．2
D．4

2．集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x｜x∈A，且x
B}，则

A－B＝

A．{x｜x＜－1} B．{x｜－1≤x＜0}

C．{x｜－1＜x＜0} D．{x｜x≤－1}

3．若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象的对称轴方程是

A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2

4．设等比数列{
}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{
}是递减数列”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知函数f（x）＝
，g（x）＝lgx，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围是

A．[0，＋∞） B．（0，＋∞） C．[1，＋∞） D．（1，＋∞）

6．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋
＝
，

则cosA等于

A．
B．－
C．
D．－

7．
的展开式中
的系数为

A．－100 B．－15 C．35 D．220

8．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为

A．
B．
C．
D．

9．已知双曲线C：
（a＞0，b＞0），斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A，B两点，若
＋
与向量
＝（－3，－1）共线，则双曲线C的离心率为

A．
B．
C．
D．3

10．设函数f（x）＝x｜x－a｜,若对
,
∈[3，＋∞）,
≠
,不等式
＞0恒成立，则实数a的取值范围是

A．（－∞，－3] B．[－3，0） C．（－∞，3] D．（0，3]

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体

的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为

A．1 B．

C．
D．2

12．已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝
,AC＝3，若三棱锥D－ABC体积的最大值为
，则球O的表面积为

A．36π B．16π

C．12π D．
π

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．

13．执行下面的程序，若输入的x＝2，则输出的所有x的值

的和为________________．

14．已知tanα，tanβ分别是
＝0的两个实根，则tan（α＋β）＝_________．

15．已知向量
，满足｜
｜＝2，｜
｜＝1，且对一切实数x，｜
＋
｜≥｜
＋
｜恒成立，则
，
的夹角的大小为________________．

16．已知F1，F2分别是双曲线
（a＞0）的左，右焦点，P是抛物线
与双曲线的一个交点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝12，则抛物线的准线方程为_____________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知正项数列{
}的前n项和为
，对
∈N﹡有
＝
．

（1）求数列{
}的通项公式；。

（2）令
，设{
}的前n项和为
，求T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数．

18．（本小题满分12分）

为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中

随机抽出30名高中生的身高编成如右所示的茎叶图

（单位：cm）：

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，

身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个

子”．

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．

（1）若BE＝1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且
＝λ
，使得CP∥平面ABEF?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；

（2）求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时二面角E－AC－F的余弦值．

20．（本小题满分12分）

设M是焦距为2的椭圆E：
（a＞b＞0）上一点，A、B是其左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－
．

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知椭圆E：
（a＞b＞0）上点N（
，
）处切线方程为
，若与椭圆E相切于C（
，
），D（
，
）两点的切线相交于P点，且
·
＝0．求证点P到原点距离为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝
－xlna（a＞1），g（x）＝b－
，e为自然对数的底数．

（1）当a＝e，b＝5时，求整数n的值，使得方程f（x）＝g（x）在区间（n，n＋1）内有解；

（2）若存在
，
∈[－1，1]使得f（
）＋g（
）＋
≥f（
）＋g（
）＋e成

立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）（选修4—1几何证明选讲）

如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点．点P在线段BA

延长线上，T是⊙O2上一点，PT⊥O2T，过P的直线交

⊙O1于C，D两点．

（1）求证：
＝
；

（2）若⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2

＝5，PT＝
，求PA的长．

23．（本小题满分10分）（选修4－4坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：
（
为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．

（1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）已知点M是曲线C1上任意一点,点N是曲线C2上任意一点,求｜MN｜的取值范围．

24．（本小题满分12分）（选修4—5不等式选讲）

已知a，b∈R＋，a＋b＝1，
，
∈R＋．

（1）求
的最小值；

（2）求证：
．

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