2014—2015学年高中三年级第二次统一考试

数学试卷（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上．

2．考试结束，将答题卷交回．

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．

1．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则复数z的实部与虚部之和为

A．0 B．1 C．2
D．4

2．已知集合A＝{1，
＋1}，B＝{2，4}，则“m＝
”是“A∩B＝{4}”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若α∈[0，2π），则满足
＝sinα＋cosα的α的取值范围是

A．[0，
] B．[0，π]

C．[0，
] D．[0，
]∪[
，2π）

4．曲线f（x）＝
在点（1，f（1））处切线的倾斜角为
，则实数a＝

A．1 B．－1

C．7 D．－7

5．过抛物线
的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若｜AF｜＝5，则｜BF｜＝

A．
B．1 C．
D．2

6．已知圆C：
，若点P（
，
）在圆C外，则直线l:
与圆C的位置关系为

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

7．执行下面的程序，若输入的x＝2，则输出的所有x的值的和为

A．6 B．21 C．101 D．126

8．已知不等式
表示的平面区域的面积为2，则
的最小值为

A．
B．
C．2 D．4

9．若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（2x）的图象的对称轴方程是

A．x＝－1 B．x＝－
C．x＝
D．x＝1

10．已知P是△ABC所在平面内一点，若
＝
－
，则△PBC与△ABC的面积的比为

A．
B．
C．
D．

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体

的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为

A．1 B．

C．
D．2

12．已知函数f（x）＝
若方程f（x）－kx＝1有两个不同实根，则实数k的取值范围为

A．（
，e） B．（
，1）∪（1，e－1]

C．（
，1）∪（1，e） D．（
，e－1]

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．

13．双曲线
（b＞0）的离心率为
，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为__________。

14．等比数列{
}中，a1＝1，a10＝2，则
＋
＋…＋
＝_________．

15．已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝
,AC＝
，若三棱锥D－ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为___________．

16．已知正项数列{
}的前n项和为
，对
∈N﹡有
＝
．令
，设{
}的前n项和为
，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为_____________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，已知sin（A＋B）＝sinB＋sin（A－B）．

（1）求∠A；

（2）若
·
＝20，求｜
｜的最小值．

18．（本小题满分12分）

有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费（消费金额不超过1000元），其中有女士1100名，男士900名．该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析，如下表：（消费金额单位：元）

消费金额

（0，200）

[200，400）

[400，600）

[600，800）

[800，1000]



人数

10

25

35

30

x



女士消费情况：

男士消费情况：

消费金额

（0，200）

[200，400）

[400，600）

[600，800）

[800，1000]



人数

15

30

25

y

5



（1）计算x，y的值；在抽出的200名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者

中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；

女士

男士

总计



网购达人









非网购达人









总计









 （2）若消费金额不低于600元的网购者为“网

购达人”，低于600元的网购者为“非网

购达人”，根据以上统计数据填写右面

2×2列联表，并回答能否在犯错误的概

率不超过0．05的前提下认为“是否为

‘网购达人’与性别有关?”

附：

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005



k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879



（K2＝，n＝a＋b＋c＋d）

19．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．

（1）若BE＝1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且
＝λ
，使得CP∥平面ABEF?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；

（2）求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时点F到平面ACD的距离．

20．（本小题满分12分）

设M是焦距为2的椭圆E：
（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－
．

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知椭圆E：
（a＞b＞0）上点N（
，
）处切线方程为
， 若P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．

21．（本小题满分12分）

已知f（x）＝
－
－
．

（1）若f（x）在（－∞，－1]上递增，[－1，0]上递减，求f（x）的极小值；

（2）若x≥0时，恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）（选修4—1几何证明选讲）

如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点．点P在线段BA

延长线上，T是⊙O2上一点，PT⊥O2T，过P的直线交

⊙O1于C，D两点．

（1）求证：
＝
；

（2）若⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2

＝5，PT＝
，求PA的长．

23．（本小题满分10分）（选修4－4坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：
（
为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．

（1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点,求｜MN｜的取值范围．

24．（本小题满分10分）（选修4—5不等式选讲）

已知a，b∈R＋，a＋b＝1，
，
∈R＋．

（1）求
的最小值；

（2）求证：
．

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