湖南省2015届高三 十三校联考 第二次考试

数学（理）

长郡中学 衡阳八中 永州四中 岳阳县一中 湘潭县一中 湘西州民中

石门一中 澧县一中 郴州一中 益阳市一中 桃源县一中 株洲市二中

一．选择题

1．集合
，则
（ B ）

A．
B．
C．
D．

2．下列命题中，真命题是 （ D ）

A．
，使得
B．

C．函数
有两个零点 D．
是
的充分不必要条件3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( C )

A．
B．
C．
D．6

4．
（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ D ）

A．
一定是奇函数 B．
一定是偶函数

C．
一定是奇函数 D．
一定是偶函数

5．已知函数
，集合
，现从M中任取两个不同的元素
，则
的概率为( A )

A．
B．
C．
D．

6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（ D ）

A.1008 B.2015

C.1007 D.

7．已知抛物线
，点
，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点
，使得
，则实数m的取值范围是（ B ）



（A）

（B）



（C）

（D）



8．设函数
在R上有定义，对于任一给定的正数
，定义函数
，则称函数
为
的“
界函数”若给定函数
，则下列结论不成立的是（ B 　）

A.
B.

C.
D.

9.已知函数

为自然对数的底数)与
的图象上存在关于
轴对称的点，则实数
的取值范围是（ B ）

A．
B．
C．
D．

10．如图，已知双曲线
：

的右顶点为

为坐标原点，以
为圆心的圆与双曲线
的某渐近线交于两点
．若
且
，则双曲线
的离心率为( B )

A．
B．
C．
D．

二．填空题

（一）选做题

11．如图，
是半圆
的直径，
在
的延长线上，
与半圆相切于点
，
，若
，
，则
3 .

12．在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点
为直线
上一点，点
为曲线
为参数）上一点，则
的最小值为
.

13．已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的x∈R，f(x)≥f(3)=f(4)都成立，则k的取值范围为
.

（二）必做题

14．设
，则二项式
的展开式的常数项是____-160_____.

15．如果实数
满足条件：
，则
的最大值是
。

16．平面向量
满足
，
，
，
，则
的最小值为
.

三．解答题

17．（本题满分12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球.

(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；

(II)记
为取出的3个球中编号的最小值，求
的分布列与数学期望.

解:(I)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则
，………………4分

(II)
的取值为1,2,3,4

…………………8分

所以
的分布列为：

1

2

3

4
















的数学期望
………..12分

18．已知函数
的最大值为2.

(1)求函数
在
上的单调递减区间;

(2)△ABC中,
,角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60?，c=3，求△ABC的面积。

【解析】（1）由题意，
的最大值为
，所以
．

而
，于是
，
．

为递减函数，则
满足

，

即

． 所以
在
上的单调递减区间为
．

……………….5分

（2）设△ABC的外接圆半径为
，由题意，得
．

化简
，得

． 由正弦定理，

得
，
． ①…………………….8分

由余弦定理，得
，即
． ②……………….10分

将①式代入②，得
．

解得
，或
（舍去）．

． ……………….12分

19.（本题满分12分）如图,在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，
为
与
的交点，
为
上任意一点.

(I)证明：平面
平面
；

(II)若
平面
，并且二面角
的大小为
，求
的值.

解:(I) 因为
，
，

又
是菱形，
，故
平面

平面
平面
…….4分

(II)解：连结
，因为
平面
，

所以
，所以
平面

又
是
的中点，故此时
为
的中点，

以
为坐标原点，射线
分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系.

设
则
，

向量
为平面
的一个法向量……….8分

设平面
的一个法向量
，

则
且
，

即
，

取
，则
，则
………10分

解得

故
……………………………12分

20 （本题满分13分）

已知数列
中，

(1)求证：数列
是等比数列；

(2)若
是数列
的前n项和，求满足
的所有正整数n.

解：（Ⅰ）设
，

因为

=
=
,

所以数列
是以
即
为首项，以
为公比的等比数列. ……… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，即
，

由
，得
，

所以

，

…………………….10分

显然当
时，
单调递减，

又当
时，
＞0，当
时，
＜0，所以当
时，
＜0；

，

同理，当且仅当
时，
＞0，

综上，满足
的所有正整数
为1和2．…………………………………… 13分

21.已知离心率为
的椭圆

的右焦点F是圆
的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M,N(与P点不重合)两点

(1)求椭圆方程

(2)求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标

解：（1）圆心坐标（1，0），所以c=1，又
，∴

故b=1,故椭圆方程为
……… 4分

(2)设P（
，
，

∴
………….. 6分

直线PM的方程

∴

同理

∴m,n是方程
两实根

由韦达定理：

……… 9分

…11分

令
，

显然由f(x)的单调性知

∴
，此时

故P点坐标为（
），即椭圆左顶点 ……………… 13分

22．设函数
．

(1)若函数
在
上为减函数，求实数
的最小值；

(2)若存在
，使
成立，求实数
的取值范围．

解：（Ⅰ）由已知得x＞0，x≠1．

因f (x)在
上为减函数，故
在
上恒成立．…1分

所以当
时，
．

又

，………2分

故当
，即
时，
．

所以
于是
，故a的最小值为
． ……………4分

（Ⅱ）命题“若存在
使
成立”等价于

“当
时，有
”． ………………………5分

由（Ⅰ），当
时，
，

．

问题等价于：“当
时，有
”． …………………6分

①当
时，由（1），
在
上为减函数，

则
=
，故
． …………………8分

②当
<
时，由于
在
上的值域为

（ⅰ）
，即
，
在
恒成立，故
在
上为增函数，

于是，
，矛盾．…………………10分

（ⅱ）
，即
，由
的单调性和值域知，

存在唯一
，使
，且满足：

当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数；

所以，
，
……………………12分

所以，
，与
矛盾．

综上得
……………………………………………………………13分

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