长汀县第一中学2015届高三下学期第一次综合测试

数学（文）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若
是虚数单位，则复数
在复平面内所对应的点位于

A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设全集
，
，
，则图中阴影部分表示的集合为

A．
　　 B．

C．
D．

3．某校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是

A．
　　　　 B．
　　　　 C．
　　　 　D．

4．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的
值为
，则输入的
值为

A．
B．
C．
D．

5．若
，
，且
构成等比数列，则

A．
有最小值4 B．
有最小值4

C．
无最小值 D．
有最小值2

6．圆
在点
处的切线方程为

A．
B．

C．
D．

7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是

A．
B．
C．
D．

8．设
，那么“
”是“
”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．若双曲线
的一个焦点在直线
上，则其渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

10．已知
的图象与
的图象的两相邻交点间的距离为
，要得到
的图象，只须把
的图象

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

11．已知周期函数
的定义域为
，周期为2，且当
时，
．若直线
与曲线
恰有2个交点，则实数
的所有可能取值构成的集合为 A．
或


B．
或

C．
或


D．

12．如图，在棱长为1的正方体
的对角线
上任取一点P，以
为球心，
为半径作一个球.设
，记该球面与正方体表面的交线的长度和为
，则函数
的图象最有可能的是

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．

13．已知向量
，
，若
，则实数
等于 ．

14．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定（试行）》，AQI共分为六级：
为优，
为良，
为轻度污染，
为中度污染，
为重度污染，300以上为严重污染．2015年1月5日出版的《A市早报》报道了A市2014年9月份中30天的AQI统计数据，右图是根据统计数据绘制的频率分布直方图. 根据图中的信息可以得出A市该月环境空气质量优良的总天数为 ．

15．一水平放置的平面图形
，用斜二测画法画出它的直观图
如图所示，此直观图恰好是一个边长为
的正方形，则原平面图形
的面积为 ．

16．对于
个互异的实数，可以排成
行
列的矩形数阵，右图所示的
行
列的矩形数阵就是其中之一．

将
个互异的实数排成
行
列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为
，并设其中最小的数为
；把每列中最小的数选出，记为
，并设其中最大的数为
.

两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：

①
和
必相等； ②
和
可能相等；

③
可能大于
； ④
可能大于
．

以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．在某次模块水平测试中，某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学科是否能达到优秀水平的概率都为
，记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为
、
、
，未达到优秀水平的事件分别为
、
、
．

（Ⅰ）若将事件 “该同学这三科中恰有两科达到优秀水平” 记为
，试求事件
发生的概率；

（Ⅱ）请依据题干信息，仿照（Ⅰ）的叙述，设计一个关于该同学测试成绩情况的事件
，使得事件
发生的概率大于
，并说明理由．

18．已知
外接圆
的半径为
，且
．

（Ⅰ）求
边的长及角
的大小；

（Ⅱ）从圆
内随机取一个点
，若点
取自
内的概率恰为
，试判断
的形状．

19．在数列
和等比数列
中，
，
，
．

（Ⅰ）求数列
及
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
．

20．已知长方体
中，底面
为正方形，
面
，
，
，点
在棱
上，且
．

（Ⅰ）试在棱
上确定一点
，使得直线
平面
，并证明；

（Ⅱ）若动点
在底面
内，且
，请说明点
的轨迹，并探求
长度的最小值．

21．已知
是中心在坐标原点
的椭圆
的一个焦点，且椭圆
的离心率
为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设：
、
为椭圆
上不同的点，直线
的斜率为
；
是满足
（
）的点，且直线
的斜率为
．

①求
的值；

②若
的坐标为
，求实数
的取值范围．

22．定义域为
的函数
，其导函数为
．若对
，均有
，则称函数
为
上的梦想函数．

（Ⅰ）已知函数
，试判断
是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；

（Ⅱ）已知函数
（
，
）为其定义域上的梦想函数，求
的取值范围；

（Ⅲ）已知函数
（
，
）为其定义域上的梦想函数，求
的最大整数值．

2015届高三文科数学试题

参考解答及评分标准

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D

7．D 8．B 9．A 10．C 11．C 12．B

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.

13．
14．
15．
16．②③

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．

解：（Ⅰ）依题意，总的基本事件有“
，
，
，
，
，
，
，
”，共
种，………………2分

事件
包含的基本事件有“
，
，
”，共
种，…4分

由于每个基本事件发生的可能性都相等，故事件
发生的概率
．……6分

（Ⅱ）方案一：记“该同学这三科中至少有一科达到优秀水平”的事件为
，则事件
发生的概率大于
.…………8分

理由：事件
包含的基本事件有“
，
，
，
，
，
，
”，共
种，……10分

由于每个基本事件发生的可能性都相等，所以
．……12分

方案二：记 “该同学参加这次水平测试成绩不全达到优秀水平”的事件为
，则事件
发生的概率大于
.…………8分

理由：事件
包含的基本事件有“
，
，
，
，
，
，
”，共
种，……10分

由于每个基本事件发生的可能性都相等，故
．………12分

18．本小题主要考查向量的数量积、几何概型、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.

解：（Ⅰ）依题意
，………………2分

得
，又
，故
，…4分

又
为等腰三角形，

故
， …………5分

而
或
．………………6分

（Ⅱ）依题意，从圆
内随机取一个点，取自
内的概率
，

19．本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）依题意
，
，………………2分

设数列
的公比为
，由
，可知
，………3分

由
，得
，又
，则
，………4分

故
，………5分

又由
，得
．………………6分

（Ⅱ）依题意
．………………7分

， ①

则
②……9分

①-②得