长汀县第一中学2015届高三下学期第一次综合测试

数学（理）试题

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1．抛物线
的准线方程为

A．
　　B．
　　C．
　　D．

2．命题“
，
”的否定是

A．
,
B．
，

C．
,
D．
,

3．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：

①
； ②
；

③
④
，

那么输出的复数是

A．① B．② C．③ D．④

4. 用
、
表示两条不同的直线，
表示平面，则下列命题正确的是

A．若
，则
B．若
,
，则

C．若
，则
D．若
，则

5. 设随机变量
服从正态分布
，则函数
不存在零点的概率为

A．
B．
C．
D．

6．在
中，点
在线段
的延长线上，且与点
不重合，若
，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

7. 如图所示
方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个, 允许重复．若填入A方格的数字大于

方格的数字，则不同的填法共有

A．192种 B．128种　　　　C．96种 D．12种

8．函数
（
）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为
，则函数
图象的一条对称轴的方程为

A．
B．
C．
D．

9. 过双曲线
（
）的左焦点
引圆
的切线，切点为
，延长
交双曲线右支于点
，若
为线段
的中点，则该双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

10. 若将有理数集
分成两个非空的子集
与
，且满足
，
，
中的每一个元素都小于
中的每一个元素，则称
为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割
，下列选项中，不可能成立的是

A．
没有最大元素，
有一个最小元素

B．
没有最大元素，
也没有最小元素

C．
有一个最大元素，
有一个最小元素

D．
有一个最大元素，
没有最小元素

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）

11．

的值等于　　．

12．函数
（
）在
处有极值，则曲线
在原点处的切线方程是　　．

13．在约束条件
下，目标函数
（
）的最大值为1，则
的最大值等于　　．

14．设函数
（
）．给出以下三个判断：

①
为偶函数；②
为周期函数；③
．

其中正确判断的序号是　　（填写所有正确判断的序号）．

15. 一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图15是“优美图”，则点
与边
所对应的三个数分别为　　．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分13分）

在数列
中，
，点
在直线
上．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
.

17．(本小题满分13分)

假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为
，记此时教室里敞开的窗户个数为
．

（Ⅰ）求
的分布列；

（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为
，求
的数学期望．

18．(本小题满分13分)

如图，椭圆
的上、下顶点分别为
、
，已知点
在直线
：
上，且椭圆的离心率
．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设
是椭圆上异于
、
的任意一点，
轴，
为垂足，
为线段
中点，直线
交直线
于点
，
为线段
的中点，求证：
．

19．(本小题满分14分)

如图，在边长为4的菱形
中，
．点
分别在边
上，点
与点
、
不重合，
，
．沿
将△
翻折到△
的位置，使平面
⊥平面
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）当
取得最小值时，请解答以下问题：

（ⅰ）求四棱锥
的体积；

（ⅱ）若点
满足
，试探究：直线
与平面
所成角的大小是否一定大于
？并说明你的理由．

20．(本小题满分14分)

如图①，一条宽为
的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是
，BC与河岸垂直，垂足为
．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是
万元
、
万元
.

（Ⅰ）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆
，需要改造，旧电缆的改造费用是
万元
．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．

（Ⅱ）如图②，点
在线段AD上，且铺设电缆的线路为
、
、
.若

（
），试用
表示出总施工费用
（万元）的解析式，并求
的最小值．

第20题图

21．本题有(1)、(2)、(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

利用矩阵解二元一次方程组
．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．圆的参数方程为
（
为参数，
），若直线
与圆
相切，求
的值．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知
（
，
，
），求
的最大值．

2015届高三数学(理科)试卷参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）

1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10. C

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）

11．
　 12.
　 13.
　 14．①②③ 　 15. 3、6、3

三、解答题（本大题共6小题，共80分．)

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知得
，所以
又
，

所以数列
是首项为2，公比为2的等比数列， 3分

所以
． 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，所以
， 7分

所以
， 10分

所以

． 13分

17．(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）∵
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
， 1分

∴
，
，

，
，

， 6分

∴
的分布列为：

0

1

2

3

4

















 7分

（Ⅱ）
的所有可能取值为3，4，则 8分

， 11分

的期望值
.

答：
的期望值
等于
. 13分

18．(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）依题意，得
． 1分

∵
，
，∴
． 3分

∴椭圆的标准方程为
． 4分

（Ⅱ）（法一）

证明：设
，
，

则
，且
．

∵
为线段
中点， ∴
． 5分

又
，∴直线
的方程为
．

令
，得
． 8分

又
，
为线段
的中点，∴
． 9分

∴
． 10分

∴

=
． 12分

∴
． 13分

（法二）同（法一）得：
，
． 9分

当
时，
，

此时
，

∴
，
不存在，∴
．

10分

当
时，
，

， 9分