丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习（一）高三数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

在复平面内，复数
对应的点的坐标为

(A)

(B)

(C)

(D)



2．在等比数列
中，
，
，则公比等于

(A) -2

(B) 1或-2

(C) 1

(D)1或2



3．已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为

(A)

(B)

(C)

(D)



4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是

(A) 7

(B)10

(C) 11

(D) 16






5．在极坐标系中，曲线
与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于

(A)

(B)

 (C)

(D) 4



6．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是

(A) 4

(B) 5

 (C)

(D)





7．将函数
图象向左平移
个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是

(A)

(B)



(C)

(D)



8．如图所示，在平面直角坐标系
中，点，
分别在轴和轴非负半轴上，点在第一象限，且
，
，那么
，两点间距离的

(A) 最大值是
，最小值是

(B) 最大值是，最小值是



(C) 最大值是
，最小值是

(D) 最大值是，最小值是





第二部分 （非选择题 共110分）

一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．定积分
____．

10．已知二项式
的展开式中各项二项式系数和是16，则n=____，展开式中的常数项是____．

11．若变量x，y满足约束条件
则
的最大值是____．

12．已知函数
是定义在R上的偶函数，当x≥0时，
，

如果函数
( m∈R) 恰有4个零点，则m的取值范围

是____．

13．如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D ，AB=8，BC=1，则

CD=____；AD=____．

14．已知平面上的点集及点，在集合内任取一点
，线段
长度的最小值称为点到集合的距离，记作
．如果集合
，点的坐标为
，那么
____；如果点集所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集
所表示的图形的面积为____．

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

已知函数

的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值及函数
的最大值和最小值；

（Ⅱ）求函数
的单调递增区间．

16. （本小题共13分）

甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250， C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：

若甲、乙都选C类车型的概率为
.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；

（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：

车型

A

B

C



补贴金额（万元/辆）

3

4

5



记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．

17. （本小题共14分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，
平面
，
//
，AB=PA=4，BE=2．

（Ⅰ）求证：
//平面
；

（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱
上是否存在一点，使得

平面
平面
？如果存在，求
的值；

如果不存在，说明理由．

18.（本小题共13分）

设函数
，
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：
；

（Ⅲ）当
时，求函数
在
上的最大值．

19.（本小题共14分）

已知椭圆
：
的离心率为
，右顶点是抛物线
的焦点．直线：
与椭圆
相交于，
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）如果
，点
关于直线
的对称点
在轴上，求
的值．

20.（本小题共13分）

如果数列：
，
，…，

，且
，满足：①
，

； ②
，那么称数列为“Ω”数列．

（Ⅰ）已知数列
：-2，1，3，-1；数列
：0，1，0，-1，1．试判断数列
，
是否为“Ω”数列；

（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；

（Ⅲ）如果数列是“Ω”数列，求证：数列中必定存在若干项之和为0．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）

数 学（理科）参考答案

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

C

C

B

D

C

A





一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．
10．4，24 11．6

12．
13．3，
14．1，

注：第10，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

二、解答题：

15.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）

．

因为
，
，所以
．

因为
，
，

所以
．

所以函数
的最大值为1，最小值为-1． ……………………8分

（Ⅱ）令

，

得

，

所以

．

所以函数
的单调递增区间为
，

．……………………13分

16.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）因为

所以
，
． ……………………4分

（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，

则
．

答：所以甲、乙选择不同车型的概率是
． ……………………7分

（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．

，
，

；
．

所以X的分布列为：

X

7

8

9

10



P











 ……………………13分

17.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）设
中点为G，连结
，
．

因为
//
，且
，
，

所以
//
且
，

所以四边形
为平行四边形．

所以
//
，且
．

因为正方形
，所以
//
，
，

所以
//
，且
．

所以四边形
为平行四边形．

所以
//
．　　

因为
平面
，
平面
，

所以
//平面
．　　……………………4分

（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则
，
，

，
，
，

所以
，
，

．

设平面
的一个法向量为
，

所以
．

令
，则
，所以
．

设
与平面
所成角为，

则
．

所以
与平面
所成角的正弦值是
． ……………………9分

（Ⅲ）依题意，可设
，则
，
．

设平面
的一个法向量为
，

则
．

令
，则
，

所以
．

因为平面
平面
，

所以
，即
，

所以
， 点
．

所以
． ……………………14分

18.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）当
时，
，
，

所以
．

因为
，即切线的斜率为
，

所以切线方程为
，即
． ……………………4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
．

令
，则
．

当
时，
，
在
上单调递减，

当
时，
，
在
上单调递增，

所以当
时，函数最小值是
．

命题得证． ……………………8分

（Ⅲ）因为
，所以
．

令
，则
．

当
时，设
，因为
，

所以
在
上单调递增，且
，

所以
在
恒成立，即
．

所以当
，
，
在
上单调递减；

当
，
，
在
上单调递增．

所以
在
上的最大值等于
，

因为
，
，

不妨设
(
)，

所以
．

由（Ⅱ）知
在
恒成立，

所以