浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试数学（文科）试题 2015.01

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页．满分150分，考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

选择题部分（共50分）

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上．

参考公式：

球的表面积公式 棱柱的体积公式

球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高

棱台的体积公式

其中R表示球的半径

棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，

h表示棱台的高

其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 如果事件
互斥，那么

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集
，集合
，
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
角的终边均在第一象限，则“
”是

“
”的（ ▲ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．阅读右侧程序框图,输出的结果的值为（ ▲ ）

A．5 B．7

C．9 D．11

4．设等差数列
的前行项和为
，若
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

5．设
为定义在上的奇函数，当
时，
(为常数)，则

（ ▲ ）

A．
B． C．
D．

6．设
为两条不同的直线，
为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（ ▲ ）。

A．若
与所成的角相等，则
　B．若
，
，则

C．若
，
，则
　　 D．若
，
，则

7．把圆
与椭圆
的公共点，用线段连接起来所得到的图形

为（ ▲ ）。

A．线段 B．不等边三角形 C．等边三角形 D．四边形

8．设
，若函数
在区间
上有三个零点，则实数的取值

范围是（ ▲ ）

　 A．
B．
C．
D．

9．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有（ ▲ ）项.

A． B． C． D．

10．在等腰三角形
中，
，在线段
，
（
为常数，且

），
为定长，则
的面积最大值为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

非选择题部分（共100分）

注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用．

黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．若某棱锥的三视图(单位：
)如图所示，则该棱锥的体积等于　　▲　　
。

12．设
是方程
的解，且

，则
=　　▲　　。13．已知函数

在是单调函数，则实数的取值范

围是　　▲　　。

14．在
中，若
，则

　　▲　　。

15．若实数、满足
且
的最小值为
，则实数
的值为

　　▲　　。

16．已知
中，
，
，且
，则

的取值范围是　　▲　　。

17．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，为双曲线右支上的任意一点，若
的最小值为
，则双曲线离心率的取值范围是　　▲　　。

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

已知

（1）求
的值；

（2）求
的值。

19．（本小题满分14分）

在
中，角
所对的边分别为
，角为锐角，且

（1）求
的值；

（2）若
，求
的最大值。

20．（本小题满分15分）

已知数列
的前项和
满足：
（为常数，且
）．

（1）设
，若数列
为等比数列，求的值；

（2）在满足条件（1）的情形下，设
，数列
的前项和为
，若不等式

对任意的
恒成立，求实数的取值范围．

21．（本小题满分15分）

在直三棱柱
中，底面
是边长为2的正

三角形，
是棱
的中点，且
.

（1）试在棱
上确定一点
，使
平面
；

（2）当点
在棱
中点时，求直线
与平面

所成角的大小的正弦值。

22．（本小题满分14分）

已知动圆
过定点
，且在轴上截得弦长为．设该动圆圆心的轨迹为曲线
.

（1）求曲线
方程；

（2）点为直线
：
上任意一点，过作曲线
的切线，切点分别为、

，
面积的最小值及此时点的坐标.

浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试

数学（文科）答案 2015.01

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

B

A

D

C

C

D

D

C



二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．
12．
13．
14．

15．
16．
17．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

本题主要考查两角和差公式、二倍角公式、三角函数性质等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

（1）由
得
（3分）

故
（3分）

（2）原式
（2分）

（3分）

（3分）

19．（本小题满分14分）

本题主要考查正、余弦定理、三角变换，同时考查运算求解能力。满分14分。

解：（1）

（7分）

（2）由余弦定理得

代入得

又

即
（当且仅当
时取等号成立）

∴
的最大值为3。 （7分）

20．（本小题满分15分）

本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分15分。

解：当
时，
，得
．

当
时，由
，即
，①

得，
，②

，即
，

是等比数列，且公比是，
． （3分）

（1）
，即
，

若数列
为等比数列，则有
，

而
，

故
，解得
，

再将
代入
，得
，

由
，知
为等比数列，
． （5分）

（2）由
，知
，
，

，

由不等式
恒成立，得
恒成立，设
，由

，

当
时，
，当
时，
，

而
，

． （8分）

21．（本小题满分15分）

本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间

想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 满分15分.

解：（1) 取
边中点为

∵底面
是边长为的正三角形，∴

连接
，∵
是边
的中点

∴
，

所以可以建立以为坐标原点，
为轴，
为轴，

为轴如图所示的坐标系 （4分）

则有
，
，
，
，

，
，
，

设
，则
，
，

若
，则有
，

∴
可得

即当
时，
. （4分）

（2) 当点
在棱
中点时：

∴
，
，设平面
的一个法向量

∴
令
，得
，

∴
（4分）

设直线
与平面
所成角为
，则

所以直线
与平面
所成角
的正弦值为
（3分）

22．（本小题满分14分）

本题主要考查解析几何的标准方程的求解，与直线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

（1）设动圆圆心坐标为
，根据题意得

， （2分）

化简得
. （2分）

（2）解法一：设直线
的方程为
，

由
消去得

设
，则
，且
（2分）

以点为切点的切线的斜率为
，其切线方程为

即

同理过点
的切线的方程为

设两条切线的交点为
在直线
上，

，解得
，即

则：
，即
（2分）

代入

到直线
的距离为
（2分）

当
时，
最小，其最小值为，此时点的坐标为
. （4分）

解法二：设
在直线
上，点
在抛物线

上，则以点为切点的切线的斜率为
，其切线方程为

即

同理以点
为切点的方程为
（2分）

设两条切线的均过点
，则
，

点
的坐标均满足方程

，即直线
的方程为：
（2分）

代入抛物线方程
消去可得：

到直线
的距离为
（2分）

所以当
时，
最小，其最小值为，此时点的坐标为
. （4分）