参考答案

一.选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．D；

6．A； 7．D； 8．C； 9． B； 10．C．

10. 解析：设

二．填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分，请将答案写在答题卷上）

11．0 12．
13．
14．

15．
16．
17．
．

16. 解析：

而

=

的最小值为

当且仅当
，即
时取最小值。

17．解析：取
中点
,连接

=

=


,此时
且

三、解答题：（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本题满分14分）

在
中，角
所对的边分别为
，已知
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求
的取值范围．

解：（Ⅰ）
，
…2分

即
…4分

，
…7分

（Ⅱ）因为

… 9分

…11分

…12分

，
…14分

19．（本题满分14分）

如图，四棱锥
中，
，
，

，
，是棱
的中点，设二面角
的值为．

（Ⅰ）当
时，求证：
；

（Ⅱ）当
时，求二面角
的余弦值．

证明：（Ⅰ）
，O为AD中点，连结PO，∴
．又二面角
的值为
，∴
面ABCD，∴
，
．

∴
平面
． …2分

又
平面
，∴
． …4分

又
，∴
平面
．

∴
． …7分

（Ⅱ）解：由题意知：
．

如图，建立空间直角坐标系
，

则

，

． …9分

∴
、
．

设平面
的法向量为
，

则
，取
，得
．…11分

而平面
的法向量为
． …12分

设二面角
的平面角为.

则
…14分

20．（本题满分15分）

设a为实数，函数

（Ⅰ）若
，求的取值范围；

（Ⅱ）求
在
上的最小值．

解: （Ⅰ） 若
，则
…5分

（Ⅱ）
…7分

当
时，

①
时，
在
上单调递增，所以

； …9分

②
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，所以

； …11分

当
时，

①
时，
在
上单调递增，所以

； …13分

②
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，所以

综上所述：
…15分

21.（本题满分15分）

已知椭圆
经过点
，且离心率为
，点
是椭圆上的任意一点，从原点引圆
的两条切线分别交椭圆于点
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：
的值为定值．

解：（Ⅰ）椭圆方程为
…5分

（Ⅱ）设直线
，
，
，

设过原点圆
的切线方程为

则有
，整理得

…8分

又因为

，所以可求得
…11分

联立
得
，则

同理可得
，
…13分

所以

所以
的值为定值36 …15分