一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知是虚数单位，则
等于（ ）

A． B．
C．
D．

2．命题：
；命题：关于的实系数方程
有虚数解,则是的 （　 ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．把函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数
的反函数图像重合，则f（x）

A．
B．
C．
D．

4．已知函数
，其中
，
，记函数
满足条件：
为事件，则事件发生的概率为．

A．
B．
C．
D．

5．在
中，D是BC的中点，AD=3，点P在AD上且满足
则

A．6 B．
C．-12 D．

6．某几何体的三视图如下图所示，则它的表面积是

A．
B．

C．
D．

7．已知
，且
则
的是

A．
B．
C．
D．

8．阅读下侧程序框图，输出的结果的值为

A．
B．
C．
D．

9．已知双曲线
的方程为
，它的左、右焦点分别
，左右顶点为
，过焦点
先作其渐近线的垂线，垂足为，再作与轴垂直的直线与曲线
交于点
，若
依次成等差数列，则离心率e=

A．
　　　 B．
　　　 C．
或
　 D．

10．如图放置的边长为1的正方形
沿轴正方向滚动．设顶点
的轨迹方程是
，设
在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域为S,则直线
从
所匀速移动扫过区域S的面积D与的函数图象大致为．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知过原点的直线与圆
相切，若切点在第二象限，则该直线的方程为 ．

12．若命题“
”为假命题，则实数a的取值范围是

13．设
满足约束条件
若目标函数
的最大值为
则
的最小值为_____________．

14．已知定义在上的函数
满足
，且
，
，若
是正项等比数列，且
，则
等于

．

15．函数
的定义域为，若存在闭区间
，使得函数
满足以下两个条件：（1）
在[m，n]上是单调函数；（2）
在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为
的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有　 　（填上所有正确的序号）

①
=x2（x≥0）； ②
=ex（x∈R）；

③
=
； ④
=
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。（注意：在试题卷上作答无效）

16．（本题满分为12分）在
中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且向量
,
，满足

（1）求角C的大小；

（2）若
成等差数列，且
，求边c的长

17．（本题满分为12分）数列
的前n项和记为
,
,点
在直线
上,n∈N*．

（1）求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式

（2）设
,
是数列
的前n项和,求
的值．

18．（本题满分为12分）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定
个药品样本分成三组，测试结果如下表：

分组


组


组


组



药品有效









药品无效









已知在全体样本中随机抽取个，抽到
组药品有效的概率是
．

（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取
个测试结果，问应在
组抽取样本多少个？

（2）已知
，
，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于
%，则认为测试通过）．

19．（本题满分为12分）在
中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如下左图）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如下右图），已知D是AB的中点．

（1）求证：CD∥平面AEF;

（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；

（3）求三棱锥C-AEF的体积，

20．（本题满分为13分）已知动圆
与直线
相切且与圆：
外切。

（1）求圆心
的轨迹
方程；

（2）过定点
作直线
交轨迹
于
两点，是点关于坐标原点
的对称点，求证：
；

21．（本题满分为14分）已知函数

的图像过坐标原点
，且在点
处的切线的斜率是
．

（1）求实数
的值； （2）求
在区间
上的最大值；

（3）对任意给定的正实数，曲线
上是否存在两点
，使得
是以
为

直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？请说明理由．

2013-2014学年度山东省滕州市第二中学高三第一学期期末考

数学（文）试题参考答案

一、选择题：1～5．DBD D C 6～10．C C B A D

三、解答题：

16．（1）由
可得
…………2分

即
，又

得
而
………4分
即C=
…………．．6分

（2）
成等差数列由正弦定理可得2c=a+b…………．
①

可得
而C=
，
…… ②

由余弦定理可得
…………③

由①②③式可得c=6………12分

17．（1）由题意得n+1=2Sn+1, n =2Sn-1+1（n≥2）（1分）

两式相减,得n+1-n =2n 即n+1=3n，（3分）
，则
,

当
时
是首项为1，公比为3的等比数列．（5分）

（6分）

（2）由（1）得知n=3n-1，bn=log3an+1=n，（8分）

,（10分）

．

（12分）

18．解：（1）

应在C组抽取样本个数是

（2）
的可能性是

若测试通过，则

的可能有
通过测试的概率为
………………12分

19．（1）取
中点
，连结
，

因为
分别是
的中点

所以
是
的中位线，
，四边形
是平行四边形，所以

由左图知
，
，又

所以四边形
为矩形，则
，
中
，
为
的中点，

所以
，所以
，

，由左图知
，又面AEC⊥平面BCEF，且AEC
平面BCEF=CE，

，即AC为三棱锥
的高，

20．解析：（1）法1：根据题意动圆圆心
到定点
和到定直线
的距离相等,根据抛物线的定义可知，动圆圆心
的轨迹C的方程为
．?……………5分

法2：设
，则
，即
得
．?…………5分

（2）依题意，设直线的方程为

，则
两点的坐标满足方程组:
消去并整理，得

,

设直线AE和BE的斜率分别为
，则:

21．解：（1）当
时，
则
（1分）

依题意，得
即
，解得
． （3分）

（2）由（1）知，

①当
时
令
得
或

（4分）

当变化时
的变化情况如下表：




0





（
）







—


0


+


0



—





单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减



又

所以
在
上的最大值为． （6分）

②当
时，

当
时，
，所以
的最大值为0 ；

当
时，
在
上单调递增，所以
在
上的最大值为
．（7分）

综上所述，

当
，即
时，
在
上的最大值为2；

当
，即
时，
在
上的最大值为
． （9分）

（3）假设曲线
上存在两点
满足题设要求，则点
只能在y轴的两侧．

不妨设
，则
，显然

因为
是以为直角顶点的直角三角形，

所以
，即
①

若方程①有解，则存在满足题意的两点
；若方程①无解，则不存在满足题意的两点

若
，则
，代入①式得
，

即
，而此方程无实数解，因此
． （11分）

此时
，代入①式得,
即
②

令
，则
，所以
在
上单调递增，因为
，所以
，当
时，
，所以
的取值范围为
。所以对于
，方程②总有