2015年2月

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分

1. 设复数满足
，其中为虚数单位，则=( )

A．
B．
C．
D．

2. 集合
,
,则
的充要条件是( )

A.
B.
C.
D.

3. 已知
，
，
，则
的大小关系是（ ）

A.
B.
C.
　 D.

4. 设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2 013(x)＝(　　)

A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx

5. 已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为(　　)

A．2 B．－1 C．－ D．1

6. 三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2 kg、B原料4 kg，生产乙产品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供应量限额为60 kg，B原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多超过10件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为(　　)

A．500元 B．700元 C．400元 D．650元

8. 执行下面的程序框图，算法执行完毕后，输出的S为(　　)

A．8 B．63 C．92 D．129

9.函数
满足
且定义域为R，当
时,

,当
时,
,则f(1)+f(2)+f(3) +…+f(2013) =（　　）

A． 338 B．337 C．1678 D．2013

10. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)

的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为

(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)．

A．2 B．2 C．4 D．4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分

11 . 抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为_______

12. 已知向量a=(3,1)，b=(1,3)，c=(k,7)，若（a-c）∥b，则k =______

13. 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，
，且函数f(x)是偶函数，则θ的值为______

14. 半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是______

15. 已知函数
，
，若存在
，使
为
的最小值，使
为
的最大值，则此时数对
为_____

三、解答题：本大题共6小题，共75分

16．（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为．

（1）求值及
的单调递增区间；

（2）在△
中，
分别是三个内角
所对边，若
，
，
，求的大小．

17．（本小题满分12分）

某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。

(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；

(2) 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记
表示两人中成绩不合格的人数，求
的分布列及数学期望；

(3) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.

18. （本小题满分12分）

四棱锥
中，侧面
是边长为2的正三角形，且与底

面垂直，底面
是
的菱形，
为
的中点.

(1)求
与底面
所成角的大小；

(2)求证：
平面
；

(3)求二面角
的余弦值.

19. （本小题满分12分）

等差数列
的前项和为
；等比数列
中，
．若
，
（1）求
与
；

（2）设
，数列
的前项和为
．若对一切
不等式
恒成立，求
的最大值．

20. （本小题满分13分）

已知椭圆
：
的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
的直线
与椭圆
相交于，两点．

点
，记直线
的斜率分别为
，当

最大时，求直线
的方程．

21. （本小题满分14分）

设函数

（1）如果
，求函数
的单调递减区间；

（2）若函数
在区间
上单调递增，求实数的取值范围；

（3）证明：当m>n>0时，

高三期末考试数学（理）试题

参考答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分）

二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分

11.  12. 5 13.  14. 1：2 15. (1,2)

三.解答题

16. 解：

17.解：

(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，　　　 　

∴此次测试总人数为
(人).

∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)………（4分）

(2)
=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为
,∴
～
.

，
，
.　　　　　　　　

所求分布列为

X

0

1

2



P










…………（9分）

(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为、米，则基本事件满足的区域为

，

事件 “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为
，如图所示.

∴由几何概型
. …………（12分）

18.解：

(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．

又∵平面PDC⊥底面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD于O．

连结OA，则OA是PA在底面上的射影．

∴∠PAO就是PA与底面所成角．

∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，

从而求得OA=OP=
．∴∠PAO=45°．

∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．

19.解：（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为，

则
，

由题意得：
，……………2分

解得
，……………4分 ∴
……………6分

（2） ∵

……………10分

∵
是递增数列，∴
的最小值为
， ……………11分

又∵
恒成立，∴
，故所求的
的最大值为
……………12分

20. （Ⅰ）由已知得
（2分）

又
，

∴椭圆
方程为

（Ⅱ）①当直线
的斜率为0时，则

；

②当直线
的斜率不为0时，设
，
，直线
的方程为
，

将
代入
，整理得
．

则
，
．

又
，
，

所以，



=

．

……………10分

令
，则

所以当且仅当
，即
时，取等号．

由①②得，直线
的方程为
．

（3）要证：
只需证

只需证

设
，