二○一五届高三模拟考试

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、若复数
是虚数（
是虚数单位，
），则

A．1 B．-1 C．
D．0

2、若点
是圆
的弦AB的中点，则直线AB的方程为

A．
B．
C．
D．

3、下列命题中的假命题是

A．
B．

C．
D．

4、已知双曲线
的离心率是
，则该双曲线的渐近线方程为

A．
B．

C．
或
D．
或

5、用数学归纳法证明：“
”时，由
不等式成立，推证
时，不等式成立，左边应增加的项数为

A．
B．
C．
D．

6、如图，非零向量
，且
为垂足，

设
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

7、甲乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5为评为评分情况如茎叶图所示（其中茎表示得分的十位数，叶表示得分的个位数），记甲乙两人平均得分分别为
、
，则下列判断正确的是

A．
，甲比乙的成绩稳定 B．
，乙比甲的成绩稳定

C．
，甲比乙的成绩稳定 D．
，乙比甲的成绩稳定

8、在平面直角坐标系
中，角
的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过
，则函数
在
上的单调递减区间为

A．
或
B．

C．
或
D．

9、某个n（n
）面体的三视图如图（其中三个正方形的边长均为1）

所示，则该几何体的体积为

A．
B．
C．
D．

10、对于任意实数
，规定
表示不大于
的最大整数，则不等式
成立的充分不必要条件是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填

在答题卷的横线上。.

11、已知随机变量
，若
，则

12、若程序框图如图所示，则程序运行后输出k的值是

13、有4边不同的书，其中语文书1本，数学书2本，物理书1本，

若将其随机地并排在一起，则同一科目的书不相邻的摆法有

种（用数字作答）

14、已知偶函数
满足
，且当
时，

，若区间
上，函数
有3个零点，则实数k的取值范围是

15、若曲线
与曲线
存在公共切线，则实数
的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16、（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为

（1）求角
； （2）设
，求
的面积。

17、（本小题满分12分）

在四棱锥
中，
平面

为
的中点

（1）若
是线段
上一点，且
，求证
平面
；

（2）在线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成的角

的正弦值为
?若存在，求出
的长度；若不存在，请说明理由。

18、（本小题满分12分）

某学生参加3门课程的考试，假设该学生第一门课程取得优秀的成绩的概率为
，第二门、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为
，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，即X为该生取得优秀成的课程数，已知

（1）求
的值； （2）求X的数学期望
。

19、（本小题满分12分）

已知数列
中，前
项依次构成首项为1，公差为-2的等差数列，第
+1项至第2
项依次构成首项为1，公比为
的等比数列，其中

（1）当
时，求
；

（2）若对任意的
，都有
，设数列
的前n项和为
，求证：

20、（本小题满分13分）

已知函数
，这里
为自然对数的底数

（1）求函数
的单调区间；

（2）当
时，证明

（3）若当
时，
恒成立，求实数
的取值范围。

21、（本小题满分14分）

已知椭圆
的一个交点与抛物线
的焦点重合，
是椭圆
上一点。

（1）求椭圆
的方程；

（2）
分别是椭圆
的左右顶点，
是椭圆
上异于
的两个动点，直线
的斜率之积为
。

①设
与
的面积分别为
，请问：是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；

②求直线
与
的交点M的轨迹方程。

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