2015年安徽省“江南十校”高三联考

数 学（理科）试题答案

选择题：(本大题共10题，每小题5分，共50分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

A

C

B

D

A

D

C

B

D

A



答案A 解析：

由条件得，

.

答案C 解析：命题为真，命题为假.

答案B 解析：A选项中两直线也可能相交或异面，B选项中直线与平面也可能相交，D中选项也可能相交.

4.答案D 解析：图像①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有
；图像②④恒在轴上方，即在
上函数值恒大于，符合的函数有
和
，又图像②过定点
，其对应函数只能是
，那图像④对应
，图像③对应函数
.

5.答案A 解析：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系，易得抛物线过点
，其方程为
，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积
，下部分矩形面积
，故挖掘的总土方数为

.

6.答案D 解析：不等式组
表示的平面区域如图,结合图像可知
的最小值为点A到直线
的距离，即
.

7.答案C 解析：
，令
是奇函数，由
的最大值为10知：
的最大值为
，最小值为
，从而
的最小值为
.

答案B 解析：展开式中第
项是
，则

9.答案D 解析：
.

10.答案A 解析：双曲线方程为
，
=4

由
可得
,

得MP平分
，又结合平面几何知识可得，
的内心在直线
上；所以点M(2,1)就是
的内心。故

二．填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11.答案
解析：由对称性
.

12.答案0 解析：
,由于
周期为8，所以

.

13.答案2 解析：直线
的方程是
，曲线
的方程：
，即以
为圆心，5为半径的圆.

又圆心到直线
的距离是
，

故曲线
上到直线
的距离为4的点有2个.

14.答案
解析：
=

15.答案①②④ 解析：①中因
，所以动点的轨迹所在曲线是直线
，①正确；②中满足到点的距离为
的点集是球，所以点应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；③满足条件
的点应为以
为轴，以
为母线的圆锥，平面
是一个与母线
平行的平面，又点在
所在的平面上，故点轨迹所在曲线是抛物线，③错误；④到直线
的距离，即到点
的距离与到直线
的距离比为
，所以动点的轨迹所在曲线是以
为焦点，以直线
为准线的双曲线，④正确；⑤如图建立空间直角坐标系，作
，连接PF，设点坐标为
，由
得
，即
，所以点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误.

三．解答题（本大题共6小题，共75分）

16.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

……………2分

由
图像过点
知：

所以
………………………………………… …4分

令
即

在
上的单调递减区间是
…………………………………6分

（Ⅱ）因为
则
………………………8分

由
知
…………10分

所以
…12分

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为，前三个小组的频率为

则
解得
………………4分

由于
，故
……………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过
公斤的概率为

，

由题意知
服从二项分布即：
～
……………………………………8分

………………………………12分

18. （本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）由抛物线
：
得，
，则
，

在点
切线的斜率
，

切线方程是
，即

又点
是抛物线上一点

，

切线方程是
，即
…………………………………6分

（也可联立方程证得）

（Ⅱ）直线
与直线
位置关系是垂直.

由（Ⅰ）得，设切点为
，则切线
方程为
，

切线
的斜率
， 点
，

又点
，

此时，
………………………………10分

直线
直线
……………………………………………………12分

19. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：
是圆的直径

又
平面

又
平面
，且

平面

又
平面

………………………………………………………5分

（Ⅱ）设
，以
所在直线分别为轴，轴，轴，如图所示

则
，
，
，

由（Ⅰ）可得，
平面

平面
的一个法向量是

设
为平面
的一个法向量

由条件得，
，

即
不妨令
，则
，

又二面角
所成角
的正切值是

得
………………………9分

该几何体
的体积是
……………………………………………12分

（本小题也可用几何法求得
的长）

20.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

在
递增，在
上递减，

从而
的最大值是
……………………………………4分

（Ⅱ）令
，即

当
时，

即
. …………………………………9分

（Ⅲ）依题意得：
，从而
，

由（Ⅱ）知，
，

又

即
……………………………………………………13分

21.（本小题满分14分）

解析：（Ⅰ）

两边同除
得，
即

也即

又

数列
是以1为首项，3为公比的等比数列.……………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，

…………………………………………………………………………4分

（ⅰ）原不等式即为：