浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试数学（理科）试题 2015.01

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

选择题部分（共50分）

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上．

参考公式：

球的表面积公式 棱柱的体积公式

球的体积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高

棱台的体积公式

其中R表示球的半径

棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，

h表示棱台的高

其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 如果事件
互斥，那么

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知
，若集合中恰有
个元素，则（ ▲ ）。

A．
B．

C．
D．

2．设
是奇函数，则使
的的取值范围是（ ▲ ）。

A．
B．

C．
D．

3．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：
)如图所示，则

该几何体的侧面积为（ ▲ ）
。

A．
B．

C．
D．

4．在空间给出下面四个命题(其中、为不同的两条直线,、
为不同的两个平面)

①
,//

②//,//
//

③//,
,//

④
,//,//
,//,//

//

其中正确的命题个数有（ ▲ ）。

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．已知
，若
的必要条件是
，则

之间的关系是（ ▲ ）。

A．
B．
C．
D．

6．设
满足约束条件
，则
取值范围是（ ▲ ）。

A．
B．
C．
D．

7．已知为
的外心，
，
，若
，且

，则
（ ▲ ）。

A． B． C． D．

8．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，为双曲线右支上的任意一点，若
的最小值为
，则双曲线离心率的取值范围是（ ▲ ）。

A．
B．
C．
D．

9．若
，则
的最小值是（ ▲ ）。

A． B．
C．
D．

10．已知等差数列
的公差
不为
，等比数列
的公比是小于的正有理数。若

，
，且
是正整数，则等于（ ▲ ）。

A．
B．
C．
D．

非选择题部分（共100分）

注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．阅读右侧程序框图,输出的结果的值为　　▲　　。

12．已知

是直角三角形的概率是　　▲　　。

13．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面

积为　　▲　　。

14．已知
，则

=　　▲　　。

15．已知
中，
，
，

且
，则
的取值范围是　　▲　　。

16．已知椭圆的中心在坐标原点
, ,
分别是椭圆的上下顶点，是椭圆的左顶点，是

椭圆的左焦点，直线
与
相交于点。若椭圆的离心率为
，则
的正切

值　　▲　　。

17．在等腰三角形
中，
，在线段
，
（
为常数，且
），
为定长，则
的面积最大值为　　▲　　。

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

如图，已知单位圆上有四点

，

分别设
的面积为
.

（1）用
表示
；

（2）求
的最大值及取最大值时的值。

19．（本小题满分14分）

在
中，角，，
的对边分别为，
，，且
。

（1）求角的值；

（2）若角
，
边上的中线
，求
的面积。

20．（本小题满分15分）

如图，在几何体
中，
平面
，

平面
，
，又
，

。

（1）求
与平面
所成角的正弦值；

（2）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值。

21．（本小题满分15分）

已知椭圆
的离心率为
，且经过

点
。 过它的两个焦点
，
分别作直线
与
，

交椭圆于
两点，
交椭圆于
两点，且
．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形
的面积
的取值范围。

22．（本小题满分14分）

设数列
的前项和为
，已知
，且

，其中
为常数。

（1）证明：数列
为等差数列；

（2）证明：不等式
对任何正整数
都成立。

浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试

数学（理科）答案 2015.01

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

D

C

A

D

B

D

C

A



二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．
12．
13．
14．

15．
16．
17．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质等基础知识，同

时考查运算求解能力。满分14分。

解：（1）根据三角函数的定义，知

所以
，所
.

又因为
四边形OABC的面积＝
，

所以
. （7分）

（2）由（1）知
.

因为
，所以
，所以
，

所以
的最大值为
，此时的值为
. （7分）

19．（本小题满分14分）

本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分．

解：（1）因为
，由正弦定理

得
， （2分）

即
=sin(A+C) ． （2分）

因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，

所以
．

因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，

所以
，因为
，所以
． （3分）

（2）由（1）知
，所以
，
． （1分）

设
，则
，又

在△AMC中，由余弦定理

得

即
解得x＝2. （4分）

故
（2分）

20．（本小题满分15分）

本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间

想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 满分15分.

解：过点作
的垂线交
于,以为原点,

分别以
为
轴建立空间上角坐标系。

,又
,则点
到轴的距离为1,到轴的距离 为
。

则有
,
,
,
,
。 （4分）

（1）设平面
的法向量为
，

．

则有
，取
，得
，又
，

设
与平面
所成角为
，则
，

故
与平面
所成角的正弦值为
。 （5分）

（2）设平面
的法向量为
，

，

则有
，取
，得
。

，

故平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值是
。 （5分）

21．（本小题满分15分）

本题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考

查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

解：（1）由
，所以
， （2分）

将点P的坐标代入椭圆方程得
， （2分）

故所求椭圆方程为
（1分）

（2）当
与
中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形

的面积为
， （2分）

若
与
的斜率都存在，设
的斜率为，则
的斜率为
．

直线
的方程为
，

设
，
，联立
，

消去整理得，
（1）

，
， （1分）

，

（2） （1分）

注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用
代替（2）中的，

得
， （2分）

，令
，

，

，

综上可知，四边形
面积的
. （3分）

22．（本小题满分14分）

本题主要考查等差数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能

力。满分14分。

解：由已知，得
，
，

由
，知

，即

解得
.