宜昌市2015届高三年级第一次调研考试

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合
，集合
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2、设
是两个非零向量，则“
”是“
”成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3、变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．-7 B．-4 C．1 D．2

4、已知数列
，则
是该数列的（ ）

A．第16项 B．第17项 C．第18项 D．第19项

5、已知
是R上的偶函数，若对于
，都有
，且当
时，

，则
的值为（ ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

6、右图为一个几何体的侧视图这俯视图，若该几何体的体积为
，

则它的正视图为（ ）

7、在
中，内角
的对边分别为
，且
，则

A．
B．
C．
D．

8、如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC
CO，AC与BO交于点E，

某函数
的图象经过点E、B，则
（ ）

A．
B．
C．2 D．3

9、设
是双曲线
的左右焦点，A是其右支上一点，连接
交双曲线左支于点B，若
，且
，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、由无理数引发的数学危机已知延续到19世纪，知道1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M
N=Q，M
N=
，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称
为戴德金分割，试判断，对于任一戴德金分割
，下列选项不可能成了的是（ ）

A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元素，N也没有最小元素

C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M有一个最大元素，N没有没有元素

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.

（一）必考题（11-14题）

11、已知平面向量
，若
，则

12、已知
，则
的最小值是

13、如图，一桥梁的形状为抛物线，该抛物线拱的高为
，

宽为
，则该抛物线拱的面积为

14、若以曲线
上任意一点
为切点的切线
，曲线上总存在异于M的点
，以点N为切点作切线
，且
，则称曲线
具有“可平行性”，现由下列命题：

①偶函数的图象都具有“可平行性”；

②函数
的图象具有“可平行性”；

③三次函数
具有“可平行性”，且对应的两切点
，
的横坐标满足
；

④要使得分段函数
的图象具有“可平行性”，当且仅当实数
。

其中的命题是 （写出所有真命题的序号）

（二）选考题（请在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡相应的位置填写你所选的题目序号，并用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题结果计算分。）

15、（选修4-1：集合证明选讲）如图，已知题中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=
，AF=2BF，若CE与圆相切，

且CE=
，则BE=

16、（选修4-4 坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，曲线C的方程为
为参数），在以此坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，直线
的极坐标方程为
，则直线
与曲线C的公共点共有 个。

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的单调增区间；

（2）在
中，
分别是角
的对边，已知
，求角C。

18、（本小题满分12分）

等差数列
的前n项和为
，已知
为整数，当且仅当
时，
取得最大值

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前n项和

19、（本小题满分12分）

某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整成x（x
）名员工从事第三产业，调整出的员工他们平均每人每年创造利润为
万元（
），剩下的员工平均每人每年创造的利润可提高0.2%。

20、（本小题满分12分）

如图，三棱柱
的底面是边长为4的正三角形，
平面
，
，M为
的中点。

（1）求证：
；

（2）在棱
上是否存在P，使得
平面
？若存在确定

点P的位置；若不存在，说明理由。

（3）若点P为
的中点，求二面角
的余弦值、

21、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，已知曲线
上任意一点到点
的距离之和为

（1）求曲线
的方程；

（2）设椭圆
，若斜率为
的直线OM交椭圆
于点M，垂直于OM的直线ON交曲线
于点N。

①求证：
的最小值为
；

②问：是否存在以过圆心且与直线MN相切的定圆？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由。

22、（本小题满分14分）

已知函数

（1）求曲线
在
处的切线方程；

（2）若
有两个不同的极值点，其极小值为M，试判断
的符号，并说明理由；

（3）设
，求证：
时，

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