河北省石家庄市2015届高三高中毕业班第一次模拟考试

数学（理）试题

（时间 120分钟，满分 150分）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前。考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，则复数

A.
B.
C.
D.

2..已知集合
,
，则

A.
B.
C.
D.

3.已知
,则

A.
B.
C.
D.

4.下列说法中，不正确的是

A.已知
，命题“若
，则
”为真命题；

B.命题“
”的否定是“
”；

C.命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题；

D.“x>3”是“x>2”的充分不必要条件.

5.已知偶函数f(x)，当
时，f(x)=2sinx，当
时，
，则

A.
B.1 C.3 D.

6.执行下面的程序框图，如果输入的依次是1,2,4,8，则输出的S为

A.2 B.
C.4 D.6

7.如图，在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则
与平面
所成的角的大小为

A.
B.
C.
D.



8.已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘.O地为一磁场，距离其不超过
的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确.则该测绘队员能够得到准确数据的概率是

A.
B.
C.
D.

9. 已知抛物线
的焦点F恰好是双曲线
的一个焦点，两条曲线的交点的连线经过点F，则双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A.64 B.72 C.80 D.112

11. 已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则四边形ABCD面积S的最大值为

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数
，若关于x的方程

有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知平面向量a，b的夹角为
，|a|=2，|b|=1，则|a+b|= .

14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为 （用数字作答）.

15.设过曲线
（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为
，总存在过曲线
上一点处的切线
，使得
，则实数a的取值范围为 .

16.已知椭圆
的两个焦点分别为
,设P为椭圆上一点，
的外角平分线所在的直线为l，过
分别作l的垂线，垂足分别为R、S，当P在椭圆上运动时，R、S所形成的图形的面积为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设数列
的前n项和为
，
，
，且
、
、
为等差数列
的前三项.

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）求数列
的前n项和.

18. （本小题满分12分）

集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为
、
、
，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元.

（1）求集成电路E需要维修的概率；

（2）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望.

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=
,BC=t，∠PAB=∠PAD=
.

（1）当
时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时
的值；

（2）当
时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长.



20. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为
，求△PBC面积的最小值.

21. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）若f（x）在区间[2,3]上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）设f（x）的导函数
的图象为曲线C，曲线C上的不同两点
、
所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|>1.

请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
和
相交于A、B两点，AD为
的直径，延长DB交
于C，点G为弧BD的中点，连结AG分别交
、BD于点E、F，连结CE.

（1）求证：
;

（2）求证：
.



23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

（1）分别写出
的普通方程，
的直角坐标方程.

（2）已知M、N分别为曲线
的上、下顶点，点P为曲线
上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
的定义域为R.

（1）求实数m的取值范围.

（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足
时，求
的最小值.

2015年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试

高三数学(理科答案)

选择题（A卷）1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA

一、选择题（B卷）1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA

填空题13
14 8 15
16

解答题（阅卷时发现的正确解答，请教师参阅此评分标准酌情给分）

17解：（1）解法1∵
∴

∴
，即

，

又
∴数列
为以1为首项，公比为
的等比数列，……………………2分

∴
，∴
，整理得
，得
………………4分

∴
，
………………………………………………6分

解法2：∵

∴

∴
，整理得
，得
………………………2分

∴
∴

∴
，即

，又

∴数列
为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分

∴
，
……………………………………………6分

（2）

∴
………………………①

∴
………②…………8分

—②得

…………………………………10分

整理得：
…………………………………………………………12分

18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件
，则
.

依题意，集成电路E需要维修有两种情形：

①3个元件都不能正常工作，概率为

； …………2分

②3个元件中的2个不能正常工作，概率为

……………5分

所以,集成电路E需要维修的概率为
． ……………6分

（Ⅱ）设
为维修集成电路的个数，则
，而
，

…………9分

的分布列为：

0

100

200















………………10分

或
. …………12分

19解：证明一

连接
交于点
,在平面
中做
∥
交
于
, 因为
平面
，
平面

∥平面
，---------2

∥

因为
∥
,
-------------4

证明二

在棱
上取点
，使得
,------------2

连接
交于点
,
∥

所以，
∥
因为
平面
，
平面
所以
∥平面
-------------4

(2)取
上一点
使得
连结
,则
为正方形.

过
作
⊥平面
,垂足为
.连结
.

，

所以
和
都是等边三角形，因此
,

所以
,

即点
为正方形
对角线的交点,---------------7

（或取
的中点
,连结
,则
为正方形.连接
交于点
，连接
，

，

-----------7）

以
坐标原点，分别以
的方向为
轴，
轴,
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
.

设棱
的长为
，则
,

--------------9

,
-----------10

-----------11

解得t=

----------------12

20解：（1）由题意可知圆心到
的距离等于到直线
的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：
.………………………4分

（2）设
，
，直线PB的方程为：
，

又圆心（1，0）到PB的距离为1，
，整理得：
，…………6分

同理可得：
，所以，可知
是方程
的两根，

所以：
……………………8分

依题意
，即
，

则
，因为
，所以：

，………………10分

所以
，

当
时上式取得等号，所以
面积最小值为8.………………………12分

解二：（2）设
，直线PB：
与圆D相切，则

，整理得：
，……………6分

,………………………8分

依题意
那么
，

由韦达定理得：
，则
，…………………10分

所以
　　

当
时上式取得等号，所以
面积最小值为8.…………………12分

21. 解：

（1）由
，得
．因为
在区间
上单调递增，则
在
上恒成立，………………2分

即
在
上恒成立，设
，则
，所以
在
上单调递减，故
，所以
．……………