云南师大附中2015届高考适应性月考卷（六）

理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

1．由
，
，则
，故选D．

2．由
，故选A．

3．由
，则函数为周期为的偶函数，故选B．

4．（1）当“
”为真时，可以是p假q真，故而
为假不成立；当
为假时，p为真，则“
”为真，故①正确；

（2）由特称命题的否定为全称命题，故②正确，综上所述，①②均正确，故选D．

5．由程序框图可知，输出的

，故选D．

6．因为
，所以
，所以数列
是公比为
的等比数列，所以
的前10项和等于
，故选C．

7．由题意
，则
，当
时，
，故选B．

8．由题意可知：该几何体为边长为4的正方体上下各挖去底面半径为2，高为2的圆锥，故而其表面积是
，故选D．

9．由于
，即
，

直线l与
交于A，B两点，

如图1所示，
，

且当
时，
取得最大值，此时

，点O到直线l的距离为
，则
，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为
，故选B．

11．
外接圆的半径
，点到平面
的距离
，
为球的直径
点到平面
的距离为
，此棱锥的体积为

，故选A．

12．由
，得
，所以当
和
时，两函数值相等，
图象为开口向上的抛物线，
图象为开口向下的抛物线，两图象在
和
处相交，则

所以

，
，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号

13

14

15

16



答案



63



2



【解析】

13．由题意知，
，故而
．

14．因为
是方程
的两个根，且数列
是递增的等比数列，所以
，所以
．

15．如图2，由
，由斜率公式可知，其几

何意义是点
与点
所在直线的斜率，故而

由图可知，
，
，故而的

取值范围是
．

16．令
，则函数
为单调递增的奇函数，由题意知：

，
，故而
，所以
．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，

，

，

∴函数
的最小正周期
． ………………………………………………（6分）

（Ⅱ）

∴当
，即
时，
，

，由正弦定理
，

得

． ……………………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）①、②、③处分别填5、35、0.350，众数是172.5cm，

补全频率分布直方图如图3所示．

…………………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于170cm”的有5人，

所以
可能的取值为0，1，2，3，

则
；
；

；
，

则
的分布列如下：

0

1

2

3



P












． ……………………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：由题设
，

如图4，连接
，因为
为等腰直角三角形，

所以
，且
，

又
为等腰三角形，

故
，且
，

从而
，

所以
为直角三角形，
，

又
，所以
平面
． ………………………………………（6分）

（Ⅱ）解：以为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为轴，轴，z轴的正半轴，建立如图5所示的空间直角坐标系
．

设
，则
，
，
，

，
.

设平面
的法向量
，

由

令
，得
．

由（Ⅰ）可知
平面
，因此取平面
的法向量
.

………………………………………………………………………………（10分）

设平面
与平面
的夹角为，则
．

…………………………………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，设
为短轴的两个三等分点，为焦点，

因为
为正三角形，

所以
，即
，

解得
，
，

因此，椭圆方程为
． ………………………………………………（4分）

（Ⅱ）设直线的方程为
．

点
的坐标满足方程组

将①式代入②式，得
，

整理得
，

此方程有两个不等实根，于是
，

整理得
，③

由根与系数的关系，

可知线段
的中点坐标
满足
，
，

从而线段
的垂直平分线方程为
，

此直线与轴，轴的交点坐标分别为
．

由题设可得
，

整理得
，

将上式代入③式得
，

整理得
，

解得
，所以的取值范围是
． ………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：
，

因为
上为单调增函数，

所以
在
上恒成立，

即
在
上恒成立．

当
时，由
，

得
．

设
，
，

，即
时，
有最小值2，

所以
，所以
，

所以的取值范围是
． ………………………………………………（5分）

（Ⅱ）证明：要证
，

，
，只需证
，

即证
，只需证
．

设
，

由（Ⅰ）知
在
上是单调增函数，又
，

所以
，即
成立，

所以
． ……………………………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

解：（Ⅰ）
为圆的直径，
，
，

，

． ………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）
切圆于点，
，

． …………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）由

则圆
的直角坐标方程为
，

圆
的直角坐标方程为
． …………………………………（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆
与圆
的交点所在的直线方程为
，

其极坐标方程为
． …………………………………………（10分）

24．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】

解：（Ⅰ）不等式
，即
．

当
时，不等式的解集是
；

当
时，不等式的解集为；

当
时，即
，即
或
，即
或
，

不等式解集为
． ………………………………………（5分）

（Ⅱ）函数
的图象恒在函数
图象的上方，

即
对任意实数恒成立，

即
对任意实数恒成立．

由于
，当且仅当
时取等，故只要
，

所以的取值范围是
． ………………………………………………（10分）