成都七中2015届高三上期2月阶段性测试

数 学 试 题(答案)

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.已知集合A=
， B=
， 则
=

A．
B．{1} C.{2} D.{1，2}

【解析】 集合A=
，
，B=
，
.故选A．

2.已知是虚数单位， 若
（
），则的值为

A．
B．
C． D．

【解析】 由
，知
为纯虚数，
为纯虚数，
，故选B.

3.已知直线平面
，直线
平面，则下列结论中错误的是

A.若
， 则
B.若
， 则

C.若
，则
D.若
，则

【解析】 因为直线平面
，直线
平面，对于A，由
知
，又平面
，所以
，因此A正确. 对于B，因
，
平面，
，又平面
，
，所以B正确.对于C，因
，
平面，
，又平面
，
，所以C正确.对于D，由
可知
平行、相交、异面，所以D错.故选D.

4. 在如图所示的程序框图中，若
，则输出的结果是

A.
B.

C.
D.

【解析】 由
得当
时，
，当
时，
，……，当
时，
，故选B.

5.一个边长为2，宽1的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为

A．

B．

C．

D．

【解析】 由几何概型的概率计算公式可知，
，所以会标的面积约为
，故选B.

6.三角函数
，若
，则直线
的倾斜角为

A．
B．
C．
D．

【解析】 由
知三角函数
的图像关于
对称，所以
所以
，直线
的斜率
，其倾斜角为倾斜角为
.故选D.

7.已知数列
满足
，则

-6 B.6 C.-1 D.1

【解析】 由
可得
，从而可得
，所以数列
是一个周期为4的数列.又
，所以
，所以
，又
，所以
.

8. 已知向量
， B是圆C：
上的一个动点，则两向量
所成角的最大值为

A．
B．
C．
D．

【解析】 如图，过点O向圆C作切线OB，连结CB，
为
所成最大角，因点C
，所以
，
，
，又
，
，
，故选D.

9.已知抛物线
的焦点与双曲线
的左焦点的连线交
于第二象限内的点M，若抛物线
在点M处的切线平行于双曲线
的一条渐近线，则p=

B.
C.
D.

【解析】 由题意可知，抛物线
的焦点坐标为
，双曲线
的左焦点坐标为
，则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直线方程为
，即
.设该直线与抛物线
的交点M的坐标为
，则抛物线
在点M的切线斜率为
，又抛物线
在点M处的切线与双曲线
的一条渐近线平行，点M在第二象限，所以
，解得
.即
，又点M在直线
上，所以
，解得
,故选A.

10.定义区间
长度为
，（
），已知函数
(
)的定义域与值域都是
，则区间
取最大长度时的值为

A．
B．
C．
D． 3

【解析】 设
是已知函数定义域的子集.

或
，故函数
在
上单调递增，则
，故
是方程
的同号的相异实数根，即
的同号的相异实数根.
，
同号，只需
，
，
，
取最大值为
.此时
.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.在二项式
展开式中含
项是第 项.

【解析】 二项式
展开式的通项公式为

，令
，
，二项式
展开式的第7 项.

12.已知
，则
=_______.

【解析】 由
,得
，
,

则

,
,

所以
.

13.设、
满足约束条件
，若
取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数的值是 .

【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数
的几何意义是直线
与直线
重合，比较得
.

14. 设
，若
，则
的最大值为 .

【解析】
，
，由
得
为定值，令
，
，当且仅当
时等号成立，
，
，
.

15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点
，若
都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线.现有如下几个命题：

①如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b一定是遗憾直线；

②“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k与b都是有理数”；

③存在恰有一个完美点的完美直线；

④完美直线
经过无穷多个完美点，当且仅当直线
经过两个不同的完美点.

其中正确的命题是______．（写出所有正确命题的编号）

【解析】 对于①，如果取k=
，b=
，那么直线y=
x+
经过完美点（-1，0），是完美直线，所以①错误；对于②，由①知当k=b=
时，k与b均为无理数，但是直线y=
x+
是完美直线，所以②错误；对于③，设直线方程为y=
x，只经过了一个完美点（0，0），所以③正确；对于④，设y=kx为过原点的完美直线，若此直线
过不同的完美点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入完美直线
的方程得y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1-y2=k（x1-x2），则（x1-x2，y1-y2）也在完美直线y=kx上，且（x1-x2，y1-y2）也为完美点，通过这种方法得到直线
经过无穷多个完美点，所以④正确.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且
．

（1）记角
，若△ABC是锐角三角形，求f?(x)的取值范围；

（2）求△ABC的面积的最大值.

【解析】 （1）在△ABC中， A+B+C=π，
，解得
. （1分）

∵ 在△ABC中，
，b=1，

∴

，

即
． （4分）

△ABC是锐角三角形，
，得

即f?(x)的取值范围为(
，2]． （6分）

（2）由（1）知
，
，由余弦定理得
，

即
.

，当且仅当
时，等号成立. （10分）

此时
，

故当
时，△ABC的面积的最大值为
. （12分）

17.（本小题满分12分）

某校高三年级有400人，在省标准化考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（右图）.

（1）求第四个小矩形的高；

（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？

（3）样本中，已知成绩在
内的学生中有三名女生，现从成绩在
内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有
名女生被选取，求
的分布列和数学期望．

【解析】

（1）由频率分布直方图可知，第四个小矩形的高为

. （3分）

（2）因为样本中，数学成绩在120分以上的频