株洲市二中2015届高三第二学期开学考试试卷理科数学

第1卷

一、选择题.本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设复数
则复数
在复平面内对应点位于（　C 　）

A．第一象限　　 　B．第二象限　　 C． 第三象限 　D．第四象限

2．“
”是“
”的( A )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．如右图所示的程序框图，若输出的
是
，则①可以为 (　C 　)

A．
B．

C．
D．

4．若
展开式中的常数项是
，则实数的值是（C ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5．已知某几何体的三视图如图所示（单位
），则此几何体

的体积为（B ）

（A）

（B）

（C）

（D）

6. 已知正项等比数列
满足：
，若存在两项
，使得
，则
的最小值为（ A ）

A．
B．
C．
D．不存在

7. 设双曲线
的一条渐近线与抛物线
的一个交点的横坐标为
，若
，则双曲线C的离心率的取值范围是 （ B ）

A．
B．
C．
D．

8． 已知函数
,其中实数k随机选自区间[－2,１].对
的概率是(C )．

A．
　　 　 B．
　　 C．
　 D．

9．已知x，y满足约束条件
若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（C ）

A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1

10．对于函数
和
，设
，
，若存在、，使得
，则称
互为“零点关联函数”．若函数
与
互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为（C ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）

（一）选考题；考生注意：11至13题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，

按前两题给分．

11．如图，
为圆的两条割线，若

，则
的长为________．

12．在直角坐标系
中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立

极坐标系．若极坐标方程为
的直线与曲线

（为参数）相交于、，则
________．

13．若存在实数，使得
成立，则实数的取值范围是________．

（二）必做题（14至16题）

14.将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移
个单位，则所得函数图象对应的解析式为_
________．

15． 设某大学的女生体重y(kg)与身高x(cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x－85.71，给出下列结论：

①y与x具有正的线性相关关系；

②回归直线过样本点的中心(x，y)；

③若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；

④若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg.

其中，正确结论的序号是______________．①②③正确．

16. 向平面区域
内随机投掷一点，则该点落在曲线
下方的概率为 ；

三、解答题：本大题共小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在
中，
分别为内角
的对边，且
．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若
，
，求．

【解析】（Ⅰ）由
，

得
，

即
．

从而
，得
．

∴
,故
． 6 …分

（Ⅱ）由
，得
，

∴
．

∵
，∴
，解得
． …12分

18．(本小题满分12分)

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率； （ii）获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数
的分布列及数学期望
.

解：（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件
则

（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则
，又

且A2，A3互斥，所以

（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.

所以X的分布列是

X

0

1

2



P









 X的数学期望

19. （本小题满分12分）

如图，四边形
中（图1），是
的中点，
，

，
将（图1）沿直线
折起，使二面角
为
（如图2）

（1）求证：
平面
；

（2）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（3）求点到平面
的距离.

解；（1）如图取BD中点M，连接AM，ME。因

……1分

因
，

满足：
,

所以
是BC为斜边的直角三角形，
,

因是
的中点,所以ME为
的中位线
，

,
…… 2分

是二面角
的平面角
=
……3分

,
且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线

平面AEM
……4分

因
,

为等腰直角三角形
，

…… 6分

（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，8分

则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),
，

,D
,C

设异面直线
与
所成角为
,

则

……9分

由
可知
满足，

是平面ACD的一个法向量,

记点到平面
的距离d，则
在法向量
方向上的投影绝对值为d

则
……13分 所以d
…… 12分

20．（本小题满分12分）已知数列
是首项
，公比为
的等比数列，
为数列
的前n项和，又
，常数
，数列
满足
．

（Ⅰ）若
是递减数列，求的最小值；（Ⅱ）是否存在正整数k，使
这三项按某种顺序排列后成等比数列？若存在，试求出k，的值；若不存在，请说明理由 ．

20．解：（Ⅰ）由题意知，
，
，

∴
， ∴
，

是递减数列，

∴
恒成立，即
恒成立，

是递减函数，∴当
时
取最大值
，

∴
，又
，∴
． ………6分

（Ⅱ）记
，则
，且
，

，
，

若
是等比中项，则由
得：

，化简得：
，显然不成立.

若
是等比中项，则由
得：

，化简得：
，显然不成立．

若
是等比中项，则由
得：

，化简得：
，

因为
不是完全平方数，因而x的值是无理数，与
矛盾．

综上：不存在
适合题意. ………13分

21. (本小题满分13分)设椭圆

，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为
.

(1)求椭圆
的方程；

(2)若直线
与椭圆相交于
两点,设直线
的斜率分别为
.
的面积为
,以
为直径的圆的面积分别为
.若
恰好构成等比数列,求
的取值范围.

.解：（1）由题可知，
且
，解得：
，……3分

故椭圆的方程为：
……5分

（2）设直线
的方程为
，
，

由
可得
，由韦达定理有：

且

构成等比数列，
=
，即：

由韦达定理代入化简得：
.
，
.……8分

此时
，即
.

故

又

为定值.

当且仅当

时等号成立.

综上：

……13分

22. (本小题满分13分)设
,
.

(1)若
，求
的单调区间；

(2)讨论
在区间
上的极值点个数；

(3)是否存在，使得
在区间
上与轴相切?若存在，求出所有的值.若不存在，说明理由.

解：（1）当
时：
，（
）

故

……2分

当
时：
，当
时：
，当
时：
.

故
的减区间为：
，增区间为
……3分

（2）

令

，故
,
,…6分

显然
，又当
时：
.当
时：
.

故

，
，
.

故
在区间
上单调递增

注意到：当
时，

，故
在
上的零点个数由
的符号决定.

①当
，即：
或
时：
在区间
上无零点，即

无极值点.

②当
，即：
时：
在区间
上有唯一零点，即

有唯一极值点.

综上：当
或
时：
在
上无极值点.

当
时：
在
上有唯一极值点. ……5分

（3）假设存在，使得
在区间
上与轴相切，则
必与轴相切于极值点处，由（2）可知：
.不妨设极值点为
，则有：

…(*)同时成立.

联立得：
，即
代入（*）可得
.

令
，
.

则
，
，当
时

（

2）.故
在
上单调递减.又
，
.故
在
上存在唯一零点
.

.故
在
上存在唯一零点
.

即当
时
，
单调递增.当
时
，
单调递减.

因为
，
.

故
在
上无零点，在
上有唯一零点.

由观察易得
，故
，即：
.

综上可得：存在唯一的
使得
在区间
上与轴相切