2015年高三教学测试（一）

理科数学 参考答案

一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1.C； 2.D； 3.A； 4.B；

5.C； 6.D； 7.B； 8.C．

7．【解析】
中，
，

，

.

8．【解析】令
，则得
或
.则有
或
.

（1）当
时，

①若
，则
，
或
，
或
，解得
或
（舍）；

②若
，则
，
或
，解得
或
，
或
，均满足.

所以，当
时，零点有3个；同理讨论可得，
时，零点有3个.

所以，无论为何值，均有3个零点.

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）

9．6，
10．一个三棱锥，半个圆锥，1 11．3，
12．72，64

13．
14．
15．

14.【解析】

又
，所以
，
．当且仅当
，
时，等号成立．

15.【解析】点P的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体
的部分．易得其体积为
．

三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题满分14分）

已知函数
．

（I）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）当
，求函数
的值域．

16.【解析】（I）

……5分

所以，
的最小正周期
.……7分

（Ⅱ）由（I）可知
.……9分

，
，……11分

，

.

所以，
的值域为
.……14分

17．（本题满分15分）

在四棱锥
中，
平面
，
是正三角形，
与
的交点
恰好是
中点，又
，
，点
在线段
上，且
．

（I）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

17．【解析】（Ⅰ）在正三角形
中，

在
中，因为
为
中点，
，

所以
，
，所以
，

所以
……4分

在等腰直角三角形
中，
，

所以
，
，所以
.

又
平面
，
平面
，所以
平面
.……7分

（Ⅱ）因为
，

所以
，分别以
为轴, 轴,轴建立如图的空间直角坐标系，所以
．

由（Ⅰ）可知，
为平面
的法向量……10分

，

设平面
的一个法向量为
,

则
，即
，

令
,则平面
的一个法向量为
……13分

设二面角
的大小为， 则
,

所以二面角
余弦值为
.……15分

18．（本题满分15分）

已知直线
与椭圆
相交于
两个不同的点，记与轴的交点为C．

（Ⅰ）若
，且
，求实数的值；

（Ⅱ）若
，求
面积的最大值，及此时椭圆的方程．

18．【解析】设
．

（Ⅰ）
，

．……5分

（Ⅱ）
，

，……7分

由
，代入上式得：

，……9分

，……12分

当且仅当
时取等号，此时
．

又
，因此
．

所以，
面积的最大值为
，此时椭圆的方程为
．……15分

19．（本题满分15分）

设二次函数
满足条件：①当
时，
的最大值为0，且
成立；②二次函数
的图象与直线
交于、两点，且
．

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）求最小的实数
，使得存在实数，只要当
时，就有
成立．

19.【解析】（Ⅰ）由
可知函数
的对称轴为
，……2分

由
的最大值为0，可假设
.

令
，
，则易知
，
.

所以，
.……6分

（Ⅱ）由
可得，
，即
，

解得
.……8分

又
在
时恒成立，可得

，

由（2）得
.……10分

令
，易知
单调递减，所以，
，

由于只需存在实数，故
，则能取到的最小实数为
.

此时，存在实数
，只要当
时，就有
成立．……15分

20．（本题满分15分）

在数列
中，
，

（Ⅰ）求
，判断数列
的单调性并证明；

（Ⅱ）求证：
；

（III）是否存在常数
，对任意
，有
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

20.【解析】（Ⅰ）由
易知，
.……2分

由
易知
.

由
得，
（1），则有
（2），由（2）-（1）得

，
，
，所以
与
同号.由
易知，
，即
，可知数列
单调递减. ……5分

（Ⅱ）由
可得，
，
，

所以，
.……7分

由
易知，
与
同号，由于
可知，
，即
，
，
，所以
，得证. ……10分

（III）
，
，即
，

则
.……13分

由
可知，

，

所以，
，因为
，所以
.当
时，
，故不存在常数
，对任意
，有
成立. ……15分

命题人

刘 舸、吴旻玲、沈勤龙、黄海平

吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华

2015年2月