河北省衡水中学2015届高三下期期中考试

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前。考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上． 写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i为虚数单位，则复数

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
,
，则

A．
B．
C．
D．

3．已知
,则

A．
B．
C．
D．

4．下列说法中，不正确的是

A．已知
，命题“若
，则
”为真命题；

B．命题“
”的否定是“
”；

C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题；

D．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件．

5．已知偶函数f（x），当
时，f（x）=2sinx，当
时，
，则

A．
B．1 C．3 D．

6．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1,2,4,8，则输出的S为

A．2 B．
C．4 D．6

7．如图，在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则
与平面
所成的角的大小为

A．
B．
C．
D．

8．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O地为一磁场，距离其不超过
的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确．则该测绘队员能够得到准确数据的概率是

A．
B．
C．
D．

9． 已知抛物线
的焦点F恰好是双曲线
的一个焦点，两条曲线的交点的连线经过点F，则双曲线的离心率为

A．
B．

C．
D．

10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．64 B．72

C．80 D．112

11．已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则四边形ABCD面积S的最大值为

A．
B．
C．
D．

12． 已知函数
，若关于x的方程

有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知平面向量a，b的夹角为
，|a|=2，|b|=1，则|a+b|= ．

14．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为 （用数字作答）．

15．设过曲线
（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为
，总存在过曲线
上一点处的切线
，使得
，则实数a的取值范围为 ．

16．已知椭圆
的两个焦点分别为
,设P为椭圆上一点，
的外角平分线所在的直线为l，过
分别作l的垂线，垂足分别为R、S，当P在椭圆上运动时，R、S所形成的图形的面积为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

设数列
的前n项和为
，
，
，且
、
、
为等差数列
的前三项．

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）求数列
的前n项和．

18．（本小题满分12分）

集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为
、
、
，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．

（1）求集成电路E需要维修的概率；

（2）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=
,BC=t，∠PAB=∠PAD=
．

（1）当
时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时
的值；

（2）当
时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为
，求△PBC面积的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）若f（x）在区间[2,3]上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）设f（x）的导函数
的图象为曲线C，曲线C上的不同两点
、
所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|>1．

请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
和
相交于A、B两点，AD为
的直径，延长DB交
于C，点G为弧BD的中点，连结AG分别交
、BD于点E、F，连结CE．

（1）求证：
;

（2）求证：
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（1）分别写出
的普通方程，
的直角坐标方程．

（2）已知M、N分别为曲线
的上、下顶点，点P为曲线
上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
的定义域为R．

（1）求实数m的取值范围．

（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足
时，求
的最小值．

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