2015年高三教学测试（一）

文科数学 参考答案

一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1.B； 2.D； 3.D； 4.B；

5.C; 6.A; 7.C; 8.B.

8．【解析】
中，
，

，

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）

9. 1，－4或2 10.
11.
， 1008 12. 7，6

13.
14. 12 15. 1

14．【解析】点P的轨迹所覆盖的区域如图所示，恰好为
面积的2倍，

因此面积为12.

15.【解析】由已知
，因此，

，

三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本题满分14分）

已知函数
．

（I）求函数
的最小正周期；

（II）当
，求函数
的值域．

16.【解析】（I）

……5分

所以，
的最小正周期
.……7分

（Ⅱ）由（I）可知
.……9分

，
，……11分

，

.

所以，
的值域为
.……14分

17．（本题满分15分）

在四棱锥
中，
平面
，
是正三角形，
与
的交点
恰好是
中点，又
，
，点
在线段
上，且
．

（I）求证：
平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．

17．【解析】（Ⅰ）在正三角形
中，

在
中，因为
为
中点，
，所以
，

，所以
，所以
……4分

在等腰直角三角形
中，
，

所以
，
，所以

又
平面
，
平面
，所以
平面
……7分

（Ⅱ）在正三角形
中，

又因为
平面
，
平面
，所以

而
，因此
平面

连结
，因此
就是直线
与平面
所成角……10分

在直角三角形
中，
，

因此，
……15分

18．（本题满分15分）

已知直线
与椭圆
相交于
两个不同的点，记直线与轴的交点为.

（I）若
，且
，求实数的值；

（II）若
，求的值，及
的面积.

18.【解析】设

（I）联立
得：

因此，

……6分

（II）

……9分

由
得：
，代入上式得：

消去
得：
……12分

……15分

19．（本题满分15分）

在正项数列
中，

（I）求
的值，判断
与2的大小关系并证明；

（II）求证：
；

（III）求证：
.

19.【解析】（1）
，
……2分

由题设，
，

因为
，所以
与
同号

又
，所以
，即：
……5分

（II）由题设，

由（I）知，
，所以
，因此
，即

……9分

（III）由（II）知，
，

因此

因此，

……15分

20．（本题满分15分）

设二次函数
满足条件：①当
时，
的最大值为0，且
成立；②二次函数
的图象与直线
的交点为
，且
.

（I）求
的解析式；

（II）求最小的实数
，使得存在实数，只要当
时，就有
成立．

20. 【解析】（Ⅰ）由
可知函数
的对称轴为
，……2分

由
的最大值为0，可假设
.

令
，
，则易知
，
.

所以，
.……6分

（Ⅱ）由
可得，
，即
，

解得
.……8分

又
在
时恒成立，可得

，

由（2）得
.……10分

令
，易知
单调递减，所以，
，

由于只需存在实数，故
，则能取到的最小实数为
.

此时，存在实数
，只要当
时，就有
成立．……15分

命题人

吴旻玲、刘 舸、沈勤龙、黄海平

吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华

2015年2月