南澳中学2014-2015学年第一学期第二次高考模拟考试高三理科数学试题

考试时间：120分钟。 满分：150分

参考公式：锥体体积公式
；柱体体积公式

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．复数
＝（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设集合U={1，2，3，4，5， 6}，M={1，2，4}，则?UM=（　　）

A．U B．{1，3，5} C．{2，4，6} D． {3，5，6}

3.已知条件p：
，条件q：
<1，则q是p成立的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

4．已知
，
，且
，则
( )

A．
B．

C．
或
D．

5．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.
B.

C.
D.

6.已知直线
与两个不同的平面
，则下列每题正确的是( )

A.若
，则
B.若
则

C.若
则
D.若
则

7．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ 　 ）

A．21 B．39 C．81 D．102

8. 对
、
，运算“
”、“
”定义为：
=
，
=
，则下列各式其中不恒成立的是（ ）

　⑴
⑵

⑶
⑷

A．⑴、⑶ B． ⑵、⑷ C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑶、⑷

二、填空题：本题共7小题，作答6小题，每题5分，满分30分.

9．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 _ ；

10.已知数列
，
，则
．

11
的展开式中
的系数为 .（用数字作答）

12．已知
满足约束条件
，则
最小值为 。

13．定义在上的函数
满足
，则
的值为_____.

14．在平面直角坐标系
中，已知圆
（
为参数）和直线
（为参数），则直线
被圆C所截得弦长为 ；

15．如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经

过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为______________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. 在
中,角、、
的对边分别为、
、,且
,
.

(1) 求
的值；

(2) 设函数
,求
的值.

17. 根据空气质量指数
（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

（数值）















空气质量级别

一级

二级

三级

四级

五级

六级



空气质量类别

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染



空气质量类别颜色

绿色

黄色

橙色

红色

紫色

褐红色



某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数
进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:

（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中度污染的概率；

（2）在上述30个监测数据中任取2个,设
为空气质量类别颜色为紫色的天数,求
的分布列.

18．（本题满分
分）

已知数列
的前项和是
，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求适合方程
的正整数的值．

19.如图，三棱柱
中，侧面
底面
，
，
，

且
，为
中点．

⑴证明：
平面
；

⑵求直线
与平面
所成角的正弦值；

⑶在
上是否存在一点，使得
平面
，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置．

20. 已知椭圆
的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，过椭圆
的右焦点的动直线
与椭圆
相交于、两点.

(1)求椭圆
的方程;

(2)若线段
中点的横坐标为
,求直线
的方程;

(3) 若线段
的垂直平分线与轴相交于点.设弦
的中点为,试求
的取值范围.

21. 已知函数
．

（1）若
，试确定函数
的单调区间；

（2）若
，且对于任意
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（3）设函数
，求证：
．

南澳中学2014-2015学年第一学期第二次高考模拟考试

高三理科数学答题卡

题号

一

二

16

17

18

19

20

21

总分



得分























二、填空题（每题5分，共30分）

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15.

三、解答题：（共80分）

16．（本题12分）

17．（本题12分）

18．（本题14分）

19．（本题14分）

20．（本题14分）

21．（本题14分）

南澳中学高三级理科班数学期末考试

参考答案

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17. 【解析】：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -------------1分

所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率
.---------------------4分

（2）随机变量
的可能取值为
,-----------------------------------------------5分

则
,-----------------------------------------------------------7分

,----------------------------------------------------------9分

-------------------------------------------------------11分

所以
的分布列为:



















----------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

19.⑴证明：因为
，且为
的中点，所以
．

又由题意可知，平面
平面
，交线为
，且
平面
，

所以
平面
．

⑶设
，

即
，得
．

所以
，得

令
平面
，得
，即
，得
，

即存在这样的点，为
的中点．

（3）由（2）知
,
所以
的中点为

所以

……10分

直线
的方程为
, 由
,得
,

则
, 所以
…12分

所以

又因为
,所以
. 所以
.

所以
的取值范围是
…14分