乌鲁木齐地区2015年高三年级第一次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

B

B

A

A

D

A

A

D

B

C

D

C





1.选B.【解析】∵
，
，∴

，故选B.

2.选B.【解析】∵
，对应的点为
在第二象限，故选B.

3.选A.【解析】依题意，令
，∴
，

∴
，故
，∴
，故选A.

4.选A.【解析】∵
，∴
，又
，∴
；由
，得
，或
；∵ “
”
“
，或
”故选A.

5.选D.【解析】
的图象向左平移
个单位得
，它的图象关于原点对称，∴
，即
，又
，∴
，∴
∵
，∴
，∴
在
上的最小值为
，故选D.

6.选A.【解析】该几何体的直观图如图所示：为一四棱锥，其底

面
是正方形，
平面
，
,
.

,又
,∴
，∴正方形

的面积
，∴
.故选A.

7.选A.【解析】已知
都是区间
内任取的一个实数，则
满足的区域面积是由
围成的正方形，其面积是
，而满足
的区域面积为
∴
.故选A.

8.选D.【解析】设
的公差为
，∴
，又
成等比数列，∴
，即
，
，故
，
，∴
，故选D.

9.选B.【解析】执行第1次运算打印点
，
；执行第2次运算打印点
，
；执行第3次运算打印点
，
；执行第4次运算打印点
，
；执行第5次运算打印点
，
；执行第6次运算打印点
，
；结束循环，其中在圆
内的点有
，
，
共个，故选B.

10.选C.【解析】双曲线
的渐近线是
，圆

的圆心是
，半径是，依题意，有
，即

化简得
，即
.故选C.

11.选D.【解析】分别过
点作准线的垂线，垂足分别为
，

∴
,
.又∵
，∴
，∴
∴
,又
,∴
，∴
，∴
，∴抛物线方程为
.故选D.

12.选C.【解析】已知
，当
时，得
；当
时，
,两式相减，得
，
，由题意知，
，∴
（
），∴数列
是首项为
，公比为
的等比数列，∴
，

∴

.故选C.

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.

13.填.【解析】如图可知
的最小值是．

14.填
.【解析】由题意得四面体
是底面边长为
的正三角形，侧棱
垂直底面，且
，
，
，则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等于
的一半，∴

∴
.

15.填
.【解析】在
中设
所对的边分别为

由题意知：
，
，即

可知
又

∴

而
，当且仅当
时等号成立

所以，当且仅当
时

16.填
.【解析】已知

则

①
恒成立，则
，这与
矛盾.

②若
恒成立，显然不可能.

③
有两个根
，而
，则
在区间
单调递增，在区间
单调递减，在区间
单调递增.故
，即
，

解得：
.

三、解答题：共6小题，共70分.

17．（12分）

（Ⅰ）∵
由正弦定理得

∴

即
，易知
，且
，

上式两边除以
,得
…………………………………… 6分

（Ⅱ）∵
,∴
，

由
，又
，
，得

而

∴
…12分

18．（12分）

（Ⅰ）根据题意，建立如图空间直角坐标系
：

则

∵

∴

即
,
，又
平面
，且

∴
…… ……6分

（Ⅱ）设平面
的法向量

∵

由
得
，令
，得
，∴

同理可得平面
的一个法向量
，∴

由图判断二面角
的平面角为钝角，∴其余弦值为
．………12分

19．（12分）

根据题意得到取的各组中点值依次为
；取这些中点值的概率依次为

（Ⅰ）从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过
km有3种情况：
km和
km；
km和
km；
km和
km．∴从乘客中任选2人，其乘车里程相差超过10km的概率为：
………………………… 5分

（Ⅱ）答案一：

依题意乘客被简化为只有五类，其乘车里程依次为3km,7km,11km,15km,19km.

乘车里程为3km的乘客其打车总费用
（万元）

乘车里程为7km的乘客其打车总费用
（万元）

乘车里程为11km的乘客其打车总费用
（万元）

乘车里程为15km的乘客其打车总费用
（万元）

乘车里程为19km的乘客其打车总费用
（万元）

∴出租车公司一天的总收入为
（万元）…12分

答案二：

依题意，将乘客按其乘车里程分为五组，分别计算每一组乘客的乘车总费用为：

第一组：

=
（万元）

第二组：

=
（万元）

第三组：

=
（万元）

第四组：

=
（万元）

第五组：

=
（万元）

∴出租车公司一天的总收入为
（万元）…………12分

以上两种答案均视为正确．

20．（12分）

（Ⅰ）已知椭圆
的离心率为
，即
，又∵
∴
又∵
，∴
，

由点在椭圆上，∴
，在
中，
可得
，
∴椭圆的标准方程为
………………………… 5分

（Ⅱ）不妨设
是左焦点，
，
依题意知
,点
,
分别在轴上，∴直线
的倾斜角不等于
.

设直线
的斜率为，倾斜角为，则直线
的方程为:

解方程组
，得：

设此方程的两个根为
，由韦达定理得

且

可得

故
=
，

又∵
，
∴

∴
，令
，

则
=

∴
，得
，或
，或

当
时，
，故函数
在
上为减函数，

当
时，
，故函数
在
上为增函数，

∴