2015年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试

高三数学(文科A卷答案)

解法2：∵

∴

∴
，整理得
，得
………………………2分

∴

∴

∴
，即

，

又

∴数列
为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分

∴
，

………………………………………………………………………6分

（2）

∴
………………………①

∴
………②…………8分

—②得

…………………………………10分

整理得：
…………………………………………………………12分

18.

解：（1）当日需求量
时，

利润为
； ………2分

当日需求量
时，利润为
…………4分

所以，关于日需求量函数关系式为：

. ………6分

（2）50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440，有15天获得利润为500，有10天获得的利润为530，有5天获得的利润为560.……………8分

②若利润在区间
时，日需求量为9件、10件、11件该商品，其对应的频数分别为11天、15天、10天.…………10分

则利润区间
的概率为：

. …………12分

19.

证明一

连接
交于点,在平面
中做
∥
交
于,

因为
平面
，
平面

∥平面
，---------------2

∥

因为
∥
,

此时，
.-------------4

证明二

在棱
上取点，使得
,------------2

连接
交于点,

∥

所以，
∥

因为
平面
，
平面

所以
∥平面
-------------4

（2）证明一

取
的中点,连结
,则
为正方形.

连接
交于点，连接
，

，

-------------7

所以
-------------8

所以
,-------------10

所以，
平面
．-------------12

证明三

20

解：（1）由题意可知圆心到
的距离等于到直线
的距离，

由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：
.----------（4分）

解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5

由方程组
,消去x,得y 2－4 y －4m=0 ①

∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，

∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,

设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m. .---------- （6分）

∴S△=

=
.----------（９分）

令
，

所以函数
在（0,1）上单调递增，在（1,5）上单调递减.

当m=1时，
有最大值32，.----------（1１分）

故当直线l的方程为y=x－1时，△AMN的最大面积为8
.----------（12分）

21．

（2）
在区间
单调递增，

不妨设
，则
，

则

等价于

等价于
………………8分

设
，

则
，

由于
，故
，即
在
上单调增加，……………10分

从而当
时，有
成立，命题得证！

………………12分

解法二：

令

即
在
恒成立

说明
，即
在
上单调增加，………………10分

从而当
时，有
成立，命题得证！

………………12分

22.

证明：（1）连结
，
，

∵
为
的直径，∴
，

∴
为
的直径, ∴
,

∵
，∴
,

∵
为弧
中点，∴
，

∴
,

∴
∽
，……………3分

∴
， ∴
。

…………………5分

（2）由（1）知
，
,

∴
∽
,……………7分

∴
,

由（1）知
，∴
． ………………10分

23.解：

（1）曲线
的普通方程为
，……………………2分

曲线
的普通方程为
. ……………………4分

（2）

法一：由曲线
：
，可得其参数方程为
，所以点坐标为
，由题意可知
.

因此

……………………6分

.

所以当
时，
有最大值28，……………………8分

因此
的最大值为
. ……………………10分

法二：设点坐标为
，则
，由题意可知
.

因此

……………………6分

.

所以当
时，
有最大值28，……………………8分

因此
的最大值为
. ……………………10分

24.

解：（1）：因为函数定义域为，所以
0恒成立，…………………2分

设函数
，则不大于函数
的最小值，

又
，即
的最小值为4，所以
.…………5分

（2）：由（1）知
，

所以
……………………6分

……………………8分

当且仅当

……………………10分