山西省2015届高三第三次四校联考数学（理）试卷

命题：临汾一中 康杰中学 长治二中 忻州一中

（满分150分，考试时间120分）

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1. 已知集合

,则

A.
B.
C.
D.

2. 复数
（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是

A.
B.
C.
D.

3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

4. 等比数列
的前项和为
，若
，
，则

A.31?????? B. 36???????? C. 42????????? D.48

5. 设
，其中实数
满足
，若的最大为
，则的最小值为

A.
??? ? B.
??????? C.
???? ?? D.

6. 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为

A.
B.
C.
D.

7. 执行如图的程序框图，则输出
的值为

A. 2016???????????B. 2 C.
????? ???? D.

8. 若
的展开式中含有常数项，则的最小值等于

A.
B. C.
D.

9. 已知函数
的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，把函数
的图象沿轴向左平移
个单位，得到函数
的图象.关于函数
，下列说法正确的是

A. 在
上是增函数 B. 其图象关于直线
对称

C. 函数
是奇函数 D. 当
时，函数
的值域是

10. 函数
的图象大致为

11. 在正三棱锥
中，
是
的中点，且
,底面边长
,则正三棱锥
的外接球的表面积为

A.
B.
C.
D.

12. 过曲线
的左焦点
作曲线
的切线，设切点为M，延长
交曲线
于点N，其中
有一个共同的焦点，若
，则曲线
的离心率为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13. 已知
，则
____________.

14. 设随机变量
～
，若
，则
____________.

15. 函数
，若方程
恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是____________.

16. 设数列
的前项和为
，且
，
为等差数列，则
的通项公式
____________.

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17. (本小题满分12分)

在
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知

（1）求证：
成等差数列；

（2）若
求
.

18.（本小题满分12分）

甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.

（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

19. (本小题满分12分)

直三棱柱
中，
，，

分别是
、
的中点，
，为棱
上的点.

（1）证明：
;

（2）是否存在一点，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.

20. (本小题满分12分)

椭圆
的上顶点为
是上的一点，以
为直径的圆经过椭圆的右焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线
与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线
的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．

21. (本小题满分12分)

函数
，若曲线
在点
处的切线与直线
垂直（其中为自然对数的底数）.

（1）若
在
上存在极值，求实数的取值范围；

（2）求证：当
时，
.

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图所示,已知圆
外有一点,作圆
的切线
,

为切点,过
的中点
,作割线
,交圆于、

两点,连接
并延长,交圆
于点
,连接
交圆

于点,若
.

（1）求证:△
∽△
;

（2）求证:四边形
是平行四边形.

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆C的参数方程
．以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线
的极坐标方程是
，射线
与圆C的交点为O、P，与直线
的交点为Q，求线段PQ的长．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

设
=
.

（1）求
的解集;

（2）若不等式
对任意实数
恒成立，求实数的取值范围.

2015届高三年级第三次四校联考理科数学参考答案

一、选择题(每小题5分，共60分)

1-5： CABAA 6-10：ABCDD 11-12：BD

二、填空题(每小题5分，共20分)

13.
14.
15.
16.

三、解答题：

17.解：（1）由正弦定理得：

即
………2分

∴

即
………4分

∵

∴
即

∴
成等差数列。 ………6分

（2）∵
∴
………8分

又
………10分

由（1）得：
∴

∴
即
………12分

18.解：（1）设事件为“两手所取的球不同色”，

则
………4分

依题意，
的可能取值为0,1,2．

左手所取的两球颜色相同的概率为
………6分

右手所取的两球颜色相同的概率为
………7分

………10分

Ｘ

0

1

2



Ｐ









所以Ｘ的分布列为：

………12分

19. （1）证明：
，
∥

又

面
又
面

………2分

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则
,
,
,
,

设
，
且
,即：

………5分

………6分

（2）假设存在,设面
的法向量为
，

则

即：
令

. ………8分

由题可知面
的法向量
………9分

平面
与平面
所成锐二面的余弦值为

即：

或
（舍） ………11分

当点为
中点时，满足要求. ………12分

20.解：（1）
，由题设可知
，得

① ………1分

又点P在椭圆C上，
②

③ ………3分

①③联立解得，
………4分

故所求椭圆的方程为
………5分

（2）当直线
的斜率存在时，设其方程为
，代入椭圆方程，消去y，

整理得
（﹡）

方程（﹡）有且只有一个实根，又
，

所以
得
………8分

假设存在
满足题设，则由

对任意的实数
恒成立,

所以，
解得，

当直线
的斜率不存在时，经检验符合题意.

总上，存在两个定点
，使它们到直线
的距离之积等于1.

………12分

21.解：（1）∵

由已知
∴
得
………2分

∴

当
为增函数；

当
时，
，
为减函数。

∴
是函数
的极大值点 ………4分

又
在
上存在极值

∴
即

故实数的取值范围是
………5分

即为
………6分

令

则

再令
则

∵
∴
∴
在
上是增函数

∴
∴

∴
在
上是增函数

∴
时，
故
………9分

令

则

∵
∴
∴
即

上是减函数

∴
时，
………11分

所以
， 即
………12分

22. 证明:(1)∵
是圆
的切线,
是圆
的割线,
是
的中点,

∴
, ∴
,

又∵
, ∴△
∽△
,

∴
, 即
.

∵
, ∴
, ∴
,

∴△
∽△
. ………5分

(2)∵
,∴
,即
,

∴
, ∵△
∽△
,∴
,

∵
是圆
的切线,∴
,

∴

,即
,

∴
, ∴四边形PMCD是平行四边形. ………10分

23.解：（1）圆C的普通方程为
，又

所以圆C的极坐标方程为
????????????????????????? ………5分

（2）设
，则由
解得
………7分

设
，则由
解得
………9分

所以
????? ………10分

24.解： (1)由
得：

或
或
………3分

解得

所以
的解集为
………5分

（2）

当且仅当
时，取等号. ………8分

由不等式
对任意实数
恒成立，可得

解得：
或
.

故实数的取值范围是
………10分