惠州市2015届高三模拟考试

数学（理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

B

C

B

A

C

D



1．【解析】由集合的包含关系可知
，故选A．

2．【解析】
，所以
，故选B．

3．【解析】由选项可知，A选项
单调递增（无极值），C、D选项不是奇函数，只有B选项既为奇函数又存在极值．故选B．

4．【解析】平面区域如图所示，所以
，故选C．

5．【解析】
，又由余弦定理知
．

6．【解析】若
为假命题，则
至少有一个为假命题．故选A．

7．【解析】用割补法可把几何体分割成三部分,可得
，故选C．

8．【解析】依题意得：
，由
，可得
，而
，即函数
的拐点为
，即
，

所以

所以所求为
，故选D．

二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中13题第一问2分第二问3分．

9．4 10．1 11．60 12．
13．
14． 15．

9．【解析】

，当且仅当
时取等号，所以
的最小值为．

10．【解析】
．

11．【解析】
，
，样本中心为
，

回归直线经过样本中心，所以
．

12．【解析】由程序框图知
，

又
以及周期的性质，化简后得

．

13．【解析】由题意，
，

∴

，∴
．

14．【解析】抛物线为
，
为
到准线
的距离，即距离为．

15．【解析】由圆的性质PA
=PC·PB，得PB=12，连接OA并反向延长

交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3，

DB=8，记圆的半径为R，由于ED·DA=CD·DB

因此
，解得R=7．

三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）

解：(1)依题意得
，∴
， ……2分

由f(2π)=2，得
，即
，∴A=4， ……4分

∴
. ……5分

(2)由
，得
，

即
，∴
， ……6分

又∵
，∴
， ……7分

由
，得
，

即
，∴
， ……9分

又∵
，∴
， ……10分

cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ
. ……12分

17．（本小题满分12分）

(本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)

解: (1)记事件为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ……1分

因为奇数加偶数可得奇数，所以

所以所得新数是奇数的概率等于
． ……………4分

(2)
所有可能的取值为1,2,3,4, ……………5分

根据题意得

…………………9分

故
的分布列为

1

2

3

4















……………10分

． ………………………12分

18．（本小题满分14分）

（本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．）

解答：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． …………………1分

∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，…………………4分

∴BQ⊥平面PAD． …………………5分

∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分

证法二：AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD∥BQ． …………………1分

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分

∵PA=PD，∴PQ⊥AD． …………………3分

∵PQ∩BQ=Q
， …………………4分

∴AD⊥平面PBQ． …………………5分

∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分

（Ⅱ）法一：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．……………7分

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为
；……8分

，
，
，
．

设
，则

，
……9分

,∴
，………10分

在平面MBQ中，
，
，

∴平面MBQ法向量为
．……12分

∵二面角
为30°，∴
，得
……14分

法二：过点
作
//
交
于点
，过
作
⊥
交于点，连接
，

因为
面
,所以
⊥面
，由三垂线定理知
⊥
，

则
为二面角
的平面角。…………9分（没有证明扣2分）

设
，则
，
，

，
……………10分

⊥
，
⊥
，且三线都共面，所以
//

，
…………11分

在
中
，………13分

解得
……………14分

19．（本小题满分14分）

解析：（1）由
， …………………1分

由
，其中

于是
…………………3分

整理得
， …………………4分

所以数列
是首项及公比均为
的等比数列. …………………5分

…………………6分

（2）由（1）得

于是
………8分

…………………9分

又
，问题转化为比较
与
的大小，即
与
的大小

设
…………………10分

当
时，
，∴当
时
单调递增，∴当
时，
，而
，

∴当
时，
…………………12分经检验=1，2，3时，仍有
…………………13分因此，对任意正整数，都有
即
…………………14分

20．（本小题满分14分）

（本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到
四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.）

（Ⅰ）解法1 ：设
的坐标为
，由已知得
，……1分

易知圆
上的点位于直线
的右侧.于是
，所以
.

化简得曲线
的方程为
. …………………4分

解法2 ：曲线
上任意一点M到圆心

的距离等于它到直线
的距离，

所以曲线
是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，…………… 2分

故其方程为
. …………………4分

（Ⅱ）当点在直线
上运动时，P的坐标为
，又
，则过且与圆

相切得直线的斜率
存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，

切线方程为
，
即于是

整理得
① …………………6分

设过所作的两条切线
的斜率分别为
，则
是方程①的两个实根，

故
② …………………7分

由
得
③…………………8分

设四点
的纵坐标分别为
，则是方程③的两个实根，

所以
④…………………9分

同理可得
⑤…………………10分

于是由②，④，⑤三式得

.…………………13分

所以，当在直线
上运动时，四点
的纵坐标之积为定值6400. …14分

21．（本小题满分14分）

解：(1)当
时，
＝
；

当
时，
＝
. …………………2分

因此，当
时，
＝
＜0，
在
上单调递减； ……3分

当
时，
＝
＞0，
在
上单调递增．………4分

①若
，则
在
上单调递减，
＝
＝
. …………………5分

②若
，则
在
上单调递减，在
上单调递增．

所以
＝

，

．

而
－
＝
， …………………6分

故当
时，
＝
＝
；

当
时，
＝
＝
. …………………8分

综上所述，
＝
…………………9分

(2)由(1)知，当
时，
在
上单调递减，故不满足要求．…………10分

当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．

若存在
，
∈
(
＜
)，使曲线y＝
在
，
两点处的切线互相垂直，则
∈
，
∈
，且
＝－1，

即
，亦即
＝
.(*) …………………11分

由
∈
，
∈
得
∈
，
∈
.

故(*)成立等价于集合A＝
与集合B＝
的交集非空．

因为
＜
，所以当且仅当
，即
时，A∩B≠
.……13分

综上所述，存在使函数
在区间(0,4)内的图象上存在两点，

在该两点处的切线互相垂直，且的取值范围是
. …………………14分