唐山市2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题：

A卷：CABAB BDCAC DC

B卷：CABCC BDCAB DA

二、填空题：

（13）； （14）6； （15）16π； （16）[4，12]．

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1，a1＝1．

当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，两式相减得

an＝qan－1，

又q(q－1)≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，

故an＝qn－1． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，

化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8．

故a2，a8，a5成等差数列． …12分

（18）解：

（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A，P(A)＝C××＝． …4分

（Ⅱ）X的所有可能值为0，5，10，15，20．

P(X＝0)＝ ()2×＝， P(X＝5)＝C××()2＝，

P(X＝10)＝()2×＋()2×＝， P(X＝15)＝C×()2×＝，

P(X＝20)＝()3＝． …10分

X的分布列：

X

0

5

10

15

20



P













E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝． …12分

（19）解：

（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则

△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．

取CC1中点O，连OA，OB1，则

CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则

CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1． …4分

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，

所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，

则C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)， …6分

设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为

＝(，0，－)，＝(0，－1，－)，

所以取m＝(1，－，1)． …8分

设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为

＝(，0，－)，＝ (0，2，0)，

所以取n＝(1，0，1)． …10分

则cos(m，n(＝＝＝，因为二面角C-AB1-A1为钝角，

所以二面角C-AB1-A1的余弦值为－． …12分

（20）解：

（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，则

|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A(，

连A(B，故|A(B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4．

所以点B的轨迹是以A(，A为焦点，长轴长为4的椭圆．

其中，a＝2，c＝，b＝1，则

曲线Γ的方程为＋y2＝1． …5分

（Ⅱ）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，

则⊥．设B(x0，y0)，

则x0(x0－)＋y＝0． …7分

又＋y＝1 解得x0＝，y0＝±．

则kOB＝±，kAB＝， …10分

则直线AB的方程为y＝±(x－)，即

x－y－＝0或x＋y－＝0． …12分

（21）解：

（Ⅰ）令p(x)＝f((x)＝ex－x－1，p((x)＝ex－1，

在(－1，0)内，p((x)＜0，p(x)单减；在(0，＋∞)内，p((x) ＞0，p(x)单增．

所以p(x)的最小值为p(0)＝0，即f((x)≥0，

所以f(x)在(－1，＋∞)内单调递增，即f(x)＞f(－1)＞0． …4分

（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，则h((x)＝－e－x－a，

令q(x)＝－e－x－a，q((x)＝－．

由（Ⅰ）得q((x)＜0，则q(x)在(－1，＋∞)上单调递减． …6分

（1）当a＝1时，q(0)＝h((0)＝0且h(0)＝0．

在(－1，0)上h((x)＞0，h(x)单调递增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)单调递减，

所以h(x)的最大值为h(0)，即h(x)≤0恒成立． …7分

（2）当a＞1时，h((0)＜0，

x∈(－1，0)时，h((x)＝－e－x－a＜－1－a＝0，解得x＝∈(－1，0)．

即x∈(，0)时h((x)＜0，h(x)单调递减，

又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …9分

（3）当0＜a＜1时，h((0)＞0，

x∈(0，＋∞)时，h((x)＝－e－x－a＞－1－a＝0，解得x＝∈(0，＋∞)．

即x∈(0， )时h((x)＞0，h(x)单调递增，

又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …11分

综上，a的取值为1． …12分

（22）解：

（Ⅰ）证明：因为

∠EDC＝∠DAC，

∠DAC＝∠DAB，

∠DAB＝∠DCB，

所以∠EDC＝∠DCB，

所以BC∥DE． …4分

（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以

∠CFA＝∠CED，由（Ⅰ）知∠ACF＝∠CED，所以

∠CFA＝∠ACF．设∠DAC＝∠DAB＝x，

因为＝，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，

所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，

在等腰△ACF中，π＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x＝，

所以∠BAC＝2x＝． …10分

（23）解：

（Ⅰ）C：（θ为参数），l：x－y＋9＝0． …4分

（Ⅱ）设P(2cosθ，sinθ),

则|AP|＝＝2－cosθ，

P到直线l的距离d＝＝．

由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－．

故P(－，)． …10分

（24）解：

（Ⅰ）因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝

且f(1)＝f(－1)＝3，所以，f(x)＜3的解集为{x|－1＜x＜1}； …4分

（Ⅱ）|2x－a|＋|x＋1|＝|x－|＋|x＋1|＋|x－|≥|1＋|＋0＝|1＋|

当且仅当(x＋1)(x－)≤0且x－＝0时，取等号．

所以|1＋|＝1，解得a＝－4或0． …10分