绵阳市高中2015届第三次诊断性考试

数学（文）

本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）。第I卷1至2页，第B卷2至4

页．共4页．满分150分考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在

本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。

第I卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第I卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的

1.已知i是虚数单位，则
等于

（A）－l＋i 　(B) 1－i 　(C) 1＋i 　　(D) －1－i

2.已知向量
为非零向量，则
的

（A）充分不必要条件　(B)必要不充分条件

　 (C)充要条件　　　　(D)既不充分又不必要条件

3.己知函数
的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，

则
的值为

(A) 4　　　 (B) 2 (C) 1　　　（D）

4、已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若

　　（A）M　　（B）N　　（C）I　　（D）

5.一机器元件的三视图及尺寸如右图示（单位：dm），则该组合体的体积为

(A) 80 dm3　　　　 (B) 88 dm3　 (C) 96 dm}3 　(D) 120dm3

6.若
，则下列不等式成立的是

7.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出f（x）的是

　　　　　　　　　　　　　　　

8、已知C是半径为1，圆心角为60°的圆弧上的动点，如图，若
其中
，则x＋y的最大值是

　　　

9.己知四梭锥P-ABCD的各条棱长均为13, M, N分别是PA, BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，则线段MN的长

　　（A）5　　　（B）6 (C) 7　　　（D）8

10.已知点
是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足
＝4，若AB

的垂直平分线交x轴于点M，则△AMB的面积的最大值是

第II卷（非选择题共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可

先用铂笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。

第n卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．双曲线2x2－y2=8的实轴长为　　　　　　

12.设变量x, y满足
则目标函数z=2x+y的最小值为　　　．

13．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x, y, 10, 11，9.已知这组数

据的平均数为10,方差为2，则
．

14.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4, 1)，则两圆心的距离｜C1C2｜＝　　　　

15.设x
R, [x]表示不超过x的最大整数．给出下列结论：

①［3x］＝［x］；

②若m, n
R,则
;

③函数
一定是周期函数；

④若方程[x]=ax有且仅有3个解，则

其中正确的结论有　　　　　．（请填上你认为所有正确的结论序号）

三、解容题：本大皿共5 4111.共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演NOW

16.（本小题满分12分）

绵阳二诊后，某学校随机抽查部分学生的政治成绩进行统计分析．已知统计出的成绩频率分布直方图如图，数据的分组依次为［20，40)，[40，60)， [60，80)，[80，100)，己知低于60

分的人数是6人

(1)求x与被抽查的学生人数n

(II）现从被抽查低于60分的学生中随机选取2人进行访谈，求这2人在同一分数组

的概率．

17.（本小题满分12分）

在三棱中
中，侧棱
D为AC的中点，

（I）求证：AB1∥平面BDC1；

（II）求多面体
的体积。

18（本小题满分12分）

已知函数

的图象如图所示·

(I)求f（x)在R上的单调递增区间；

（II）设
是函数y=f(x)的一个零点，求
的值．

19.（本小题满分12分）

在等差数列
中，前n项和为Sn，且满足
．

(I)求数列
的通项公式；

(II)设数列
满足
求数列
的前n项和为Tn：

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率为
，且它的一个焦点F1的坐标为（0,1）。

（I）试椭圆的标准方程；

（II）设过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，N是椭圆上不同于A，B的动点，求△NAB面积的最大值

21．（本小题满分14分）

设函数
．

（1）求函数
处的切线方程。

(II)设
，求h(x)的单调区间；

(II)若存在
成立，求证：

绵阳市高2012级第三次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

BCBAC DCACB

10．提示：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意．

设AB中点为
，于是
．

∴ 可设直线
的方程为
，

联立方程：
消去
得：
，

∴ y1+y2=2t，y1y2=2t2-8，

∴

由
，得
，

令
时，得
，

∴
，

于是S△MAB
．

令
，则
，

∴ 当
时， (S△MAB)max=8，此时
．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．4 12．
13．208 14．6 15．②③④

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ)由题意有

，

解得
．

∵ 低于60分的频率为
，

∴ 被抽查的学生有
人，即n=20． ………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
分数组的学生有
人，
分数组的学生有4人，

记这6人分别为
、
，
、
、
、
(
、
表示不同分类组)，

从中随机选取2人，不同的选法有：

、

、

、

、

、

、

、

、

、

、

、

、

、

、

共15种， ………………………………9分

2人在同一分数组的选法有：

、

、

、

、

、

、

共7种， ………………11分

∴ 2人在同一分数组的概率
． ……………………………………12分

17．(Ⅰ) 证明：连接B1C交BC1于O，连接OD．

∵ O，D分别为B1C与AC的中点，

OD为△AB1C的中位线，

OD//AB1．

又∵ AB1
平面BDC1，OD
平面BDC1，

∴ AB1//平面BDC1． ………………………………………………………5分

（Ⅱ）解：连接A1B，作BC的中点E，连接DE，如图．

∵ A1C1=BC1，∠A1C1B=60o，

∴ △A1C1B为等边三角形．

∵ 侧棱BB1⊥底面A1B1C1，

∴ BB1⊥A1B1，BB1⊥B1C1，

∴ A1C1=BC1=A1B=
=
．………7分

∴ 在Rt△BB1C1中，B1C1=
=2，

于是，A1C12= B1C12+A1B12，

∴ ∠A1B1C1=90o，即A1B1⊥B1C1，

∴ A1B1⊥面B1C1CB．

又∵ DE//AB//A1B1，

∴ DE⊥面B1C1CB，即DE是三棱锥D-BCC1的高．……………………9分

∴
=
=
=
．

∴

=
． ……………………………………………………………………12分

18．解：(Ⅰ) 由图象知，
，故
，

，即
，于是由
，解得
．

∵
，且
，

解得
．

∴
． …………………………………………………4分

由
≤
≤
，
，

解得
≤x≤
，
，

即
在R上的单调递增区间为
．………………6分

(Ⅱ)由条件得：
，即
．

∵
且
在
上是增函数，

>0，
>0，
在
上是减函数，

∴
，

∴
， …………………………………………………………9分

∴
， …………………………………10分

∴

． …………………………………………………………12分

19．解：(Ⅰ)设数列{an}公差为d，

由题设得
解得

∴ 数列{an}的通项公式为：
(n∈N*)． ………………………………5分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：
…………………………………6分

①当
为偶数，即
时，奇数项和偶数项各
项，

∴

?
； ………………………9分

②当
为奇数，即
时，
为偶数．

∴
．

综上：
…………………………12分

20．解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，则c=1．

又由e=
，可解得a=
，

∴ b2=a2-c2=2，

∴ 椭圆的标准方程为
．……………………………………………3分

(Ⅱ) 设过焦点F1的直线为l．

①若l的斜率不存在，则A(0，-
)，B(0，
)，即|AB|=2
，

显然当N在短轴顶点(0，
)或(0，
)时，△NAB面积最大，

此时，△NAB的最大面积为
．……………………………5分

②若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为
．

设
．

联立方程：
消去
整理得：
，

∴
，
，

则
．…………………………………………7分

∵ 当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，

设切线
，

联立
消去
整理得：
，

由
，

解得：
．………………………………………………9分

又点
到直线
的距离
，

∴
，

∴

．………………………………………………10分

将
代入得：
．

令
，设函数
，

则
，

∵ 当t∈
时，
>0，当t∈
时，
<0，

即
在
上是增函数，在
上是减函数．

∴
，

故
时，△NAB面积最大值是
．…………………………………12分

显然
，

∴ 当l的方程为
时，△NAB的面积最大，最大值为
．

……………………………13分

21．(Ⅰ) 解：∵
，

∴
．

又
，

∴
在点
处的切线方程为：
，即
．

………………………………3分

(Ⅱ) 解：
=
，

∴
，

由
解得
，由
解得
，

∴ 函数
的单增区间是
，函数
的单减区间是
．

…………………………………6分

(Ⅲ)证明：由
≤
可变为
≤0．

令
，
，则
．

由
可得
，由
可得
，

所以
在
单调递减，在
单调递增．………………………7分

根据题设知：
，可解得
．

①若
≤
，即
时，

∵
在
单调递减，

∴
≤0，

即
≤0对
恒成立．

令

，
≤0，

则
，即
在
上是减函数；

则