北京市朝阳区2015学年度第二学期高三综合练习

数学（理科） 2015．5

第一部分（选择题 共40 分）

一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．已知集合
，集合
，则
＝（ ）．

B．
C．
D．

2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（ ）．

A．7 B．10 C．66 D．166

3．设
为虚数单位，
，“复数
是纯虚数”是“
”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．已知平面上三点A，B，C，满足
，则
= （ ）．

A．48 B．-48 C．100 D．-100

5．已知函数
，若对任意的实数x，总有
，则
的最小值是（ ）．

A．2 B．4 C．
D．2

6．已知双曲线
与抛物线
有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若
，则双曲线的渐近线方程为（ ）．

7．已知函数
，若对任意
，都有
成立，则实数m的取值范围是（ ）．

8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（ ）．

第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）

二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．

9．
展开式中含
项的系数是__________．

10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C的标准方程是__________．

11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，
，则AD=__________．

12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．

13．已知点
在函数
的图像上，则数列
的通项公式为__________；设O为坐标原点，点
，则
，

中，面积的最大值是__________．

14．设集合
，集合A中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“
”的元素个数为__________．

三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题共13分）

在梯形ABCD中，

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）求梯形ABCD的高．

16．（本小题共13分）

某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：

（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？

（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；

（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．

17．（本小题共14分）

如图，在直角梯形ABCD中，
．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面
平面ABCD．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；

（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线
平面MNH，求MH的长．

18．（本小题共13分）

已知点M为椭圆
的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为
．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；

（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．

19．（本小题共14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数
成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）若函数
有两个不同的极值点
，
，求证：
．

20．（本小题共13分）

已知数列，
是正整数1，2，3，
，n的一个全排列．若对每个
都有
或3，则称
为H数列．

（Ⅰ）写出满足
的所有H数列
；

（Ⅱ）写出一个满足
的
数列
的通项公式；

（Ⅲ）在H数列
中，记
．若数列
是公差为d的等差数列，求证：
或
．

参考答案及评分标准

高三数学（理科）

一、选择题：

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

A

B

B

C

A

C

D

B



二、填空题：

题号

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）



答案



















三、解答题：

15．（本小题共13 分）

解：（Ⅰ）在
中，因为
，所以
．由正弦定理得：
，即
．

（Ⅱ）在
中，由余弦定理得：
，

整理得
，解得
（舍负）．

过点
作
于
，则
为梯形
的高．

因为
，
，所以
．

在直角
中，
．

即梯形
的高为
．

16．（本小题共13 分）

解：（Ⅰ）由题意可得：

题

A

B

C



答卷数

180

300

230



抽出的答卷数

3

5

2



应分别从
题的答卷中抽出
份，
份．

（Ⅱ）记事件
：被抽出的
三种答卷中分别再任取出
份，这
份答卷中恰有
份得优，可知只能
题答案为优，依题意
．

（Ⅲ）由题意可知，
题答案得优的概率为
，显然被抽出的
题的答案中得优的份数
的可能取值为
，且
．

；
；

；
；

；
．

随机变量
的分布列为：