2015年雅礼中学高三数学第一次模拟考试

时量120分钟,满分150分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数
(
为虚数单位)，
是
的共轭复数，则
的值为（ B ）

A. 1 B.
C.
D.

2. 命题“存在
，使
”的否定是（A ）

A. 对任意
，都有
B. 对
，都有

C. 存在
，使
D. 存在
，使

3. 设随机变量
，则
（ D ）

A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7

4．已知x，y满足
的最大值是最小值的4倍，则
的值是（ B ）

A．
B．
C．
D．4

5. 双曲线
的一个顶点到一条渐近线的距离为
，则双曲线的离心率为（ D ）

A.
B.
C.
D.

6. 五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，

则不同排法数为（ C ）

A．12 B．24 C．36 D．48

7. 如图所示的程序框图运行结束后，输出的集合中包含的元素个

数为（ A ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 已知数列
为等比数列，且
，则

的值为( C )

A．
B．
C．
D．

9. 某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ C）

A B C D

10.已知函数
,则函数
的零点个数不可能是（D）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.

（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分.

11.如图，圆A与圆B交于C、D两点，圆心B在圆A上，DE

为圆B的直径。已知
，则圆A的半径为 4 。

12.极坐标系下，P为曲线
上的动点，

Q为曲线
上的动点，若线段
长度的最小值为
，则
的值为 3 。

13.关于
的不等式
的解集非空，则实数
的取值范围是
.

（二）必做题（14~16题）

14. 如图在平行四边形
中，已知
，

，则
的值是 4 .

15.某商品一直打7折出售，利润率为
，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为
.（注：利润率=(销售价格-成本)
成本）

16. 等腰
中，
，
为
中点，
，则
面积的最大值为
。

【解析】

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

如图是函数

图像的一部分。

求出
的值；

当
时，求不等式
的解集。

【解析】（1）

（2）由

由
得
,
.

18.（本小题满分12分）

甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是
，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为X.

（1）设事件A：“X=3且甲获得冠军”，求A的概率；

（2）求X的分布列和数学期望。

【解析】（1）设
：甲恰胜2局；
：和2局；

则

（2）
；
；

分布列为：

X

2

3

4



P









 数学期望：
.

19．（本小题满分12分）

如图1，在边长为
的正方形
中，
,且
,且
，
分别交
于点
，将该正方形沿
折叠，使得
与
重合，构成图
所示的三棱柱
，在图
中：

（1）求证：
；

（2）在底边
上有一点
，使得
平面

，求点
到平面
的距离.

【解析】（1）由
平面
得

；由勾股定理得

，从而证得
平面
，从而

（2）如图建系，由条件得
，可求得平面
的

一个法向量为
。设
，则

，由题意有
，

解得
，则
.

20．（本小题满分13分）

如图，抛物线
与椭圆
交于第一象限内一点
，
为抛物线
的焦点，
分别为椭圆
的上下

焦点，已知
。

（1）求抛物线
和椭圆
的方程；

（2）是否存在经过M的直线
，与抛物线和椭圆分别交于

非M的两点
，使得
？若存在

请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由。

【解析】（1）由题意得
，分别代入抛物线和椭圆方程得：
，
.

（2）斜率不存在时显然不合题意，由
可设
，

直线与抛物线联立得：
，

由韦达定理及
可得
；

直线与椭圆联立得：
，

由韦达定理及
可得
。

由
可得

，经检验符合题意。

存在符合题意的直线，其斜率为1。

21.数列
满足
，

（1）证明：“对任意
，
”的充要条件是“
”

（2）若
，数列
满足
，设
，

，若对任意的
，不等式
的解集非空，求满足条件的实数
的最小值。

【解析】（1）必要性：
，由
可得
，由

得
。

充分性：用数学归纳法证明。

时，
，由
，
，得
；

设
时，

则当
时，
，由
，
，得
；

从而，对任意
，
。

综上，原题充要性得证。

（2）由（1）知
，所以：

；

，

对任意
有解，

当
，
；当
，

22.（本小题满分13分）

已知函数
，其中
.

（1）当
时，求函数的单调增区间。

（2）
为
在
处的切线，且
图像上的点都不在
的上方，求
的取值范围。

【解析】（1）定义域为
，当

；当

。故
，

从而
的单调递增区间为
.

（2）
，

令
，由题意，
恒成立。

时：若
，则
，若
，则

时：若
，则
，若
，则

综上，原条件等价于
且
，易得
符合题意。

故
。令

设
，又