一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。）

1．已知全集
,集合
，
，则
（ ）

A． B．
C．
D．

2．如果复数
(
)的实部与虚部互为相反数，则b=（ ）

A．0 B．1 C．－l D． 1

3．等比数列
的公比为，前项和为
，若
成等差数列，则公比为( )

A.
B. C.
或 D.或

4．已知
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．某单位为了解用电量（度）与气温
之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温











用电量（度）











 由表中数据得线性回归方程
，预测当气温为
时，用电量的度数约为

A．
B.66 C.
D.68

6．已知O是坐标原点，点
的坐标为
，若点
在平面区域

上的一个动点，则
的最大值为（ ）

A．
B．2 C．3 D．

7．如图所示的程序框图运行的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知函数：
，其中：
，记函数
满足条件：
为事件为，则事件发生的概率为( ) A.
　B.
　 C.
D.
　

9．设
表示三条直线，
表示两个平面，则下列命题中不正确的是（ ）

A
B
C
D

10．函数
的图象大致是(　　)

11.椭圆
＝1的左、右焦点分别为
，弦
过
点，若
的内切圆周长为，
两点的坐标分别为
，则
的值为（ ）

A.
　　　 　 B.
　　 　 C.
　　　　 D.

12．能够把圆O：
的周长和面积同时分成相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。）

13．已知等差数列{
}的前n项为
，若
，则
＝___。

14．已知函数
既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是____________

15. 已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_______

16. 给出下列命题，其中正确的命题是__________（把所有正确的命题的选项都填上）.

①函数
和
的图象关于直线
对称.

②在上连续的函数
若是增函数，则对任意
均有
成立.

③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

④若为双曲线
上一点，
、
为双曲线的左右焦点，且
，则
或

⑤已知函数
的交点的横坐标为
的值为

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.在
中,设内角
的对边分别为
向量
,向量
,若

(1)求角的大小 (2)若
,且
,求
的面积.

18.某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少
的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.

（1）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；

（2）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为
，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？

19．如右上图，在三棱锥P-ABC中，⊿PAB是等边三角形，D，E分别为AB、PC的中点.

（1）在BC边上是否存在一点F，使得PB∥平面DEF.

（2）若∠PAC=∠PBC=90o，证明：AB⊥PC

（3）在（2）的条件下，若AB=2，AC=
，求三棱锥P-ABC的体积

20．已知点
，

（1）求P的轨迹C的方程；

（2）是否存在过点
l与曲线C相交于A，B两点，并且曲线C上存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

21. 已知函数f(x)=ex+ax-1(e为自然对数的底数).

(1)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x) x2在(0,1 )上恒成立,求实数a的取值范围.

请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22．直线
交圆
于
两点，
是直径，
平分
，交圆
于点，过作
于。（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；（2）若
，求
的面积。

23．曲线
的参数方程为
，
是曲线
上的动点，且
是线段
的中点，点的轨迹为曲线
，直线l的极坐标方程为
，直线l与曲线
交于，两点。（Ⅰ）求曲线
的普通方程；（2）求线段
的长。

24． 设函数
。（Ⅰ）若不等式
的解集为
，求的值；（2）若存在
，使
，求实数a的取值范围。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

B

A

D

D

C

C

A

B

B

D

A



13.39 14.
15.
16. ①⑤

17．(1)

,
,

(2) 由余弦定理知:

即
,解得

18.解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为
，两个“低碳小区”为
…2分

故所求概率为
. …8分 （II）由图1可知月碳排放量不超过
千克的成为“低碳族”. …10分

由图2可知，三个月后的低碳族的比例为
， …11分

所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准. …12分

19．解（1）取BC的中点为F，则有PB∥平面DEF.

∵PB∥EF ，PB不在平面DEF内

∴PB∥平面DEF……………………4分

（2）因为
是等边三角形，
,

所以
,可得
。

如图，取
中点，连结
,
,

∴
,
, ∴
平面
,∴
…………………8分

(3) ∵PD=
CD=2 PC=3∴

即三棱锥体积为：
………………………12分

20. （1）由
知道曲线
是以
为焦点的椭圆，且
，
，

所以曲线
的方程为
………………………………4分

（2）设
，由题意知
的斜率一定不为0，故不妨设
，代入椭圆方程整理得
，…………………5分

显然
则
①，…………………6分

假设存在点
，使得四边形
为平行四边形，其充要条件为
，则点
的坐标为
。由点
在椭圆上，即

整理得
………………………………8分

又
在椭圆上，即

故
②………………………………………………………9分

所以

将①②代入上式解得
………………………………………………………11分

即直线
的方程是：
，即
…………………………12分

21．解:(Ⅰ)当
时,
,
,
,
,

函数
在点
处的切线方程为
，即

设切线与x、y轴的交点分别为A,B.

令
得
,令
得
,∴
,

. 在点
处的切线与坐标轴围成的图形的面积为

(Ⅱ)由
得
,

令
,

令
,
, ∵
,∴
,
在
为减函数 ，∴
, 又∵
,
∴

∴
在
为增函数,
, 因此只需

22.解：（I）连接
，则
，则
，

∵
，∴
。

∵
，∴
，即
。

∴
是圆
的切线。

（Ⅱ）∵
是圆
的切线，∴
，即
，∴
。

∵
，∴
到
的距离等于到
的距离，即为6。

又∵
为
中点，∴

到
的距离等于12。

故
的面积
。

23.解：（Ⅰ）设
，则由条件知
。因为点
在曲线
上，

所以
，即
。化为普通方程为
，即为曲线
的普通方程。 ········· 5 分

（Ⅱ）直线l的方程为
，化为直角坐标方程为
。由（Ⅰ）知曲线
是圆心为
，半径为4的圆，因为圆
的圆心到直线l 的距离
，所以
。 ··········· 10分

24.解：（Ⅰ）由题意可得
可化为
，即
，

解得
。 ·········· 5分

（Ⅱ）令
，

所以函数
的最小值为
，根据题意可得，
，即
。

所以的取值范围为
。·········· 10 分