参考公式：

样本数据
的标准差
，其中
为样本的平均数

柱体体积公式
，其中为底面面积，为高；锥体体积公式
，其中为底面面积，为高

球的表面积和体积公式
，
，其中为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合
则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数满足
，则在复平面内，对应的点的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知
中，
，且
的面积为
，则
（ ）

A．
B．
C．
或
D．
或

4．已知是边长为2的正三角形
的边
上的动点，则
（ ）

A．有最大值为8 B．是定值6 C．有最小值为2 D．与点的位置有关

5．设
，且
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

7． 数列
是公差不为零的等差数列，并且
是等比数列
的相邻三项，若
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（ ）

A．2 B．
C．
D．3

9．如图所示程序框图中，输出
（ ）

A.
B.
C.
D.

10．点
在同一个球的球面上，
，若四面体
体积的最大值为
，则这个球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知圆
，直线
，点
在直线
上．若在圆
上存在点
，使得
（
为坐标原点），则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若存在实数
满足
，且
，则
的取值范围是（ ）

A.（20，32） B.（9,21） C.（8,24） D.（15，25）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知数列
中，
，
，则

14．如果
满足约束条件
，则目标函数
的最大值是

15.过抛物线
的焦点F作倾斜角为
的直线交抛物线于、两点，若线段
的长为8，则
_____________

16．已知函数
的图像为曲线
，若曲线
存在与直线
垂直的切线，则实数的取值范围为

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）已知函数

（1）求函数
的最小正周期和最大值；

（2）设
的三内角分别是
．若
，且
,求边
和
的值．

18．（本小题满分12分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少
％的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．

（1）任选两个小区进行调查，求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；

（2）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为
，数据如图1 所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？

19．（本小题满分12分）如图,在四棱锥
中,底面
为直角梯形,
,
,平面
底面
,
为
的中点,
，
,
是棱
的中点。

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积。

20. （本小题满分12分）过椭圆
的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为
，已知
。

（1）求椭圆的离心率；

（2）设动直线
与椭圆有且只有一个公共点，且与直线
相交于点
，若轴上存在一定点
，使得
，求椭圆的方程。

21. （本小题满分12分）已知关于的函数

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）若函数
没有零点，求实数的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22．（本小题满分10分）选修4－1:几何证明选讲

如图，在
中，
是
的角平分线，
的外接圆交
于点，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）当
，
时，求
的长．

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
：

，过点
的直线
的参数方程为
(为参数)，
与
分别交于
.

(1)写出
的平面直角坐标系方程和
的普通方程；

(2)若
成等比数列，求的值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知函数
.

（1）当
时，解不等式
；

（2）当
时，
恒成立，求的取值范围.



18.（1）设“非低碳小区”为A,B,C, “低碳小区”为D,E;从中任取两个小区有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个基本事件，恰有一个“非低碳小区”有AD,AE, BD,BE,CD,CE共6个基本事件；所以所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率为
。。。 6 分

（2）小区，调查显示其“低碳族”的比例为
，

由图1知月排放量低于3百千克/户为低碳族， 。。。 8 分

所以由图2知，宣传后“低碳族”占0.07+0.23+0.46=0.76>0.75，达到“低碳小区”的标准。。。12分

19．证明:（Ⅰ）连接
，交
于
,连接
，
且
，即
，

∴四边形
为平行四边形,且
为
中点,又因为点
是棱
的中点,
，因为

平面
，
平面
，则
； 。。。 6 分

（Ⅱ）
,证明出
平面
所以
到平面
的距离为
9 分

所以
12分

20.（1）由
，知
，设直线
：
，
，

所以
带入
得，
，所以
。。。5分

（2）由（1）设椭圆方程为
，联立
和椭圆得

，由
与椭圆有且只有一个公共点知

得
。。。8分

，
， 。。。9分

由
得

即
。。。10分

由（1），（2）得
所以椭圆方程为
。。。12分

21.（1）
。。。2分

画表 。。。4分

极小值=
无极大值 。。。6分

（2）根据题意，

无实根，即
无实根，

令
，

若
在上单调递增，存在
使得
不合题意

若
，

所以
，当

即
解得
符合题意

综上所述：
。。。12分

22．（Ⅰ）连接
,因为
是圆内接四边形，所以

又

∽
,即有

又因为
，可得

因为
是
的平分线，所以
,

从而
； 5分

（Ⅱ）由条件知
，设
，

则
，根据割线定理得
,

即
即
，

解得
或
（舍去），则
10分

23．(1)
x－y－2＝0；(2)1.

解：(1)利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；(2)由|PM|＝|t1|，|MN|＝|t1－t2|，|PN|＝|t2|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解.

试题解析：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；

直线l的普通方程为x－y－2＝0． 4分

(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得

t2－2(4＋a)
t＋8(4＋a)＝0 (*)

△＝8a(4＋a)＞0．

设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．

则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．

由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)
，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有

(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．

因为a＞0，所以a＝1． 10分

24．（1）
；（2）a≥4

解：（1）当a=3时
， 2分

当x>2时，1-x>0，即x<1，解得
，