出题人：苏振涛 审题人：王丹 时间：2014-12-04

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.集合
，
，若
，则的值为( )

A.0 B.1 C.2 D.4

2.命题“对任意
，都有
”的否定为( )

A.对任意
，都有
B.对任意
，都有

C.存在
，使得
D.存在
，使

3.在等差数列
中，
，则
（ ）

A．10 B.11 C.12 D.13

4.对于函数
，下列选项中正确的是( )

A.
在
上是递增的 B.
的图像关于原点对称

C.
的最小正周期为
D.
的最大值为2

5.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表根据上表可得回归方程
中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )

广告费用（万元）

4

2

3

5



销售额（万元）

49

26

39

54





A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元

6.执行如题（6）图所示程序框图，则输出的
的值为（ ）

A.21 B.25

C.45 D.93

7.已知体积为
的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为( )

　A.
B.
C．1 D.

8.已知
，且
，则
的最小值为（ ）

　A. 6 B.
C．
D.

9.已知
是直线
上一动点，
是圆
的一条切线，是切点，若
长度最小值为2，则
的值为（ ）

A.3 B.
C.
D.2

10.已知双曲线
的左右焦点分别为
、
，渐近线为
，过
作直线
平行，且交
于点
，若
在以线段
为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）

A.2 B.
C.
D.

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．

11.设复数
，
，若
为纯虚数，则
.

12．某班级有50名学生，现用系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生。将这50名学生随机编号1~50号，并分组。第一组1~5号，第二组6~10号……第十组46~50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得的是号码为 的学生。

13.向量
，
，若
，则向量
，
的夹角为

14.
，则
的值等于

15.若不等式组
表示的区域为，不等式
的区域为中任取一点，则点落在区域中的概率为 。

三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

已知
是正项数列，
，且点
（
）在函数
的图像上.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前项和

17. （本小题满分13分）

为选拔选手参加“数学竞赛”，学校举行了一次“数学擂台赛”活动.为了了解本次擂台赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从擂台赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生

参加“数学竞赛”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在
内的概率．

18. （本小题满分13分）

已知函数
(
R )．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及单调递增区间；

(Ⅱ)
内角
的对边长分别为
，若

且

求
的面积。

19. （本小题满分12分）

已知函数
，
的图像在点
处的切线为
．（
）.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）当
时，求证：
；

20. （本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面是菱形，
，
底面
分别是
的中点，点
在
上，且
，
。

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积。

21. （本小题满分12分）

已知椭圆
的左，右焦点分别是
，离心率
，为椭圆上任一点，且
的最大面积为.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设斜率为
的直线
交椭圆
于
两点，且以
为直径的圆恒过原点
，若实数满足条件
，求的最大值.



二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

题号

11

12

13

14

15



答案

2

37



8





三、解答题（本大题共6小题，共75分）

（Ⅱ）由题意可知，分数在
内的学生有4人，记这5人分别为
，
，
，
，

分数在
内的学生有2人，记这2人分别为
，
.

抽取的2名学生的所有情况有15种，分别为：

（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），

（
，
），（
，
），，（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
）.

其中2名同学的分数都不在
内的情况有6种，分别为：

（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），.

∴ 所抽取的2名学生中至少有一人得分在
内的概率
.

18. （Ⅰ）∵
，

∴.故函数
的最小正周期为；递增区间为
(
Z )

（Ⅱ）解法一：
，∴
．

∵
，∴
，∴
，即
．

∵
，∴
或
．当
时，
；当
时，
．（不合题意，舍）所以所以ABC面积为

19. （Ⅰ）
，
.

由已知
，
.

（Ⅱ）令
，
，由
，得
，

当
时，
，
单调递减；

当
时，
，
单调递增.

∴
，从而
.

20. （Ⅰ）证明：易知
,又
,所以
为
中点，所以

可得
平面
,又
，可得
平面
,所以平面
平面
,

所以
平面

（Ⅱ）因为、
为中点。所以

21. （Ⅰ）依题意得：
，解得：
，

所以椭圆
的方程
，

（Ⅱ）设直线
的方程
由
得：
，

设
，则
.

由于以
为直径的圆恒过原点
，于是
，即
，

又
，

于是：
，即

依题意有：
，即
.

化简得：
.

因此，要求的最大值，只需求
的最大值，下面开始求
的最大值：

.

点
到直线
的距离
，于是：
.

又因为
，所以
，

代入得
.令
，

于是：
.

当
即
，即
时，
取最大值，且最大值为
.

所以的最大值为
.