北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（文史类）

2015．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合

，集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是

A．
B．
C．
D．

3．实数
，
满足不等式组
，则目标函数
的最小值是

A．
B．
C．
D．

4. 已知非零平面向量
，
，则“
与
共线”是“
与
共线”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为

A．
B．
C．
D．

6.函数
的零点个数是

A. 0 B.1 C.2 D.3

7．已知点
为抛物线

上的动点(不含原点)，过点
的切线交
轴于点
，设抛物线
的焦点为
，则

A．一定是直角 B．一定是锐角 C．一定是钝角 D．上述三种情况都可能

8．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．

若下面4个说法都是正确的：

①甲不在查资料，也不在写教案；

②乙不在打印材料，也不在查资料；

③丙不在批改作业，也不在打印材料；

④丁不在写教案，也不在查资料．

此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断

A．甲在打印材料 B．乙在批改作业 C．丙在写教案 D．丁在打印材料

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．设
为虚数单位，则
．

10．若中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
，则双曲线
的方程为 ．

11．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥

的体积为 ；表面积为 ．

12. 已知在
中，
，
，
，则
；
的面积为 ．

13．在圆

内，过点
的最长的弦为
，

最短的弦为
，则四边形
的面积为 .

14．关于函数
的性质，有如下四个命题：

①函数
的定义域为
；

②函数
的值域为
；

③方程
有且只有一个实根；

④函数
的图象是中心对称图形．

其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
在区间
上的最大值及相应的
的值；

（Ⅱ）若
且
，求
的值．

16．（本小题满分13分）

已知递增的等差数列
（
）的前三项之和为18，前三项之积为120．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若点
，
，…，
（
）从左至右依次都在函数
的图象上，求这
个点
,…,
的纵坐标之和．

17．（本小题满分13分）

某学科测试，要求考生从
三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择
题作答的人数如下表：

试题









人数

180

120

120



（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择
题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择
题作答的试卷中各抽出多少份？

（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择
题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择
题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率．

18．（本小题满分14分）

如图，在矩形
中，
,
为
的中点．将
沿
折起，使得平面
平面
．点
是线段
的中点．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）过
点是否存在一条直线
，同时满足以下两个条件：

①
平面
；②
．请说明理由．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆

,
为坐标原点，直线
与椭圆
交于
两点，且
．

（Ⅰ）若直线
平行于
轴，求
的面积；

（Ⅱ）若直线
始终与圆
相切，求
的值．

20．（本小题满分13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）当
时，判断
在区间
上的单调性；

（Ⅱ）当
时，若不等式
对于

恒成立，求实数
的取值范围．

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