哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第三次模拟考试

数学（文）试题

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

参考公式：

柱体体积公式
，其中
为底面面积，
为高；锥体体积公式
，其中
为底面面积，
为高，球的表面积和体积公式
，
，其中
为球的半径，

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. 已知集合
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2. 已知
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3．若
，则
（ ）

A.
B. 0 C.
D. 1

4. 已知向量
, 向量
，则
的最大值，最小值分别是( )

A．4，0 B．
，4

C．
，0 D．16，0

5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面

积为（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 已知
满足约束条件
，则下列目标函数中，在点
处取得最小值的是（ ）

A.
B.

C.
D.

7．执行右边的程序框图，若
，则输出的
为（ ）

A．
B．

C．
D．

8. 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知函数
，若
的图像的一条切线经过点
，则这条切线与直线
及
轴所围成的三角形面积为（ ）

A.
B.1 C. 2 D.

10. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底

面ABC上的射影H必在(　　)

A．直线AB上 B．直线BC上

C．直线AC上 D．△ABC内部

11. 过双曲线
的右顶点作
轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若以的右焦点F为圆心，半径为4的圆经过A,O两点（O为原点），则双曲线的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数
对定义域
内的任意
都有
，且当
时导函数
满足
，若
，则（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 已知函数
在
内是增函数，则
的取值范围是 .

14. 已知抛物线
的焦点为
，过点
且倾斜角为
的直线
与抛物线
在第一、

四象限分别交于
两点，则
.

15. 给出下列4个函数：①
；②
；③
；④
，则满足对定义域D内的
，
,使
成立的函数序号为 .

16. 正三角形
的边长为2，
分别在三边
上，
为
的中点，
，且
，则
.

三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

已知单调递增的等比数列
满足：
且
是
的等差中项.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，其前
项和为
，求
.

18. （本小题满分12分）

某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度
（单位cm）的情况如下表1：

M

900

700

300

100





0.5

3.5

6.5

9.5



哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：

M













频数

3

6

12

6

3



（1）设
,根据表1的数据，求出
关于
的回归方程；

（参考公式：
；其中
，
）

（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入.

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
为菱形，
平面
,
,
是棱
上的动点，
面积的最小值是3.

（1）求证：
；

（2）求四棱锥
的体积.

20. （本小题满分12分）

已知
分别是椭圆
的左右焦点，
是椭圆的上顶点，
的延长线交椭圆于点
，过点
垂直于
轴的直线交椭圆于点
.

（1）若点C坐标为
，且
，求椭圆的方程；

（2）若
, 求椭圆的离心率.

21. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）证明：
； （2）当
时，
，求
的取值范围.

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示,已知圆
外有一点
,作圆
的切线
,
为切点,过
的中点
,作割线
,交圆于
、
两点,连接
并延长,交圆
于点
,连接
交圆
于点
,若
.

（1）求证：△
∽△
;

（2）求证：四边形
是平行四边形.

23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以坐标原点
为极点,以
轴的正半轴为极轴，已知曲线
的参数方程为
为参数），M为曲线C上任一点，过点M作
轴的垂线段MN，垂足为N, MN中点P的轨迹方程为
.

（1）求曲线
的参数方程；

（2）已知曲线
上的两点

，求
面积的最小值及此时
的值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

对于任意实数
和
，不等式
恒成立，试求实数
的取值范围．