上饶市重点中学2015届高三六校第二次联考

数学试卷
（理科）

时间：120分钟 总分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 复数
（
为虚数单位），则复数
的共轭复数为( )

A．
B．
C．
D．

2.设全集
，函数
的定义域为A，集合
，则
的元素个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 不等式组
表示的点集记为A，不等式组
表示的点集记为B，在A中任取一点P，则
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）种。

A．240 B. 180 C. 150 D.540

5. 已知数列
满足
，则该数列的前12项和为（）

A.211 B.212 C.126 D.147

6. 奇函数
、偶函数
的图象分别如图1、2所示，方程
，
的实根个数分别为
、
，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

7．执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小

于1，则输入的t值不能是下面的（ ）

A．2012 B．2013

C．2014 D．2015

8. 已知a、b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln

（x+b）相切，则
的取值范围是( )

A．（0，
） B.（0，1）

C.（0，
） D.

9. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是

腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形，则此

四面体的四个面中面积最大的为( )

A．
B． 4

C．
D．

10. 已知
，m+n=4，
其中

是常数，且
的最小值是
，满足条件的点
是双曲线
一弦的中点，则此弦所在的直线方程为( )

A.
B.

C.
D.

11. 设等差数列
满足：
，公差
．若当且仅当n=9时，数列
的前
项和
取得最大值，则首项
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

12. 已知
,则下列结论中错误的是（ ）

A．
． B.
.

C.
D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13. 设
,过定点A的动直线
和过定点B的动直线
交于点P(x,y)，则
的最大值是 .

14．计算
，可以采用以下方法：构造等式：

，两边对x求导，

得
，在上式中令
，

得
．类比上述计算方法，

计算
_________．

15.已知点
是锐角
的外心，
. 若
，则
.

16. 若数列
满足
，
，且
，

，则
= .

三.解答题(本大题共6小题，满分70分. 17-21题是必做题，每题12分。请在22和23题中只选做一题，多做则按22题给分，选做题满分10分.）

17. （本小题共12分）设函数f（x）=sinxcos（x+
）+
，x∈R．

（1）设
，
求
的值.．

(2)△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列；

且a+c=6，
，求△ABC的面积．

18. （本小题共12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
，
…
后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数。

(2) 从数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，

求他们在同一分数段的概率.

（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取4个学生,设这四个学生中数学成绩为80分以上(包括80分)的人数为X,(以该校学生的成绩的频率估计概率)，求X的分布列和数学期望.

19. （本小题共12分）如图，四棱锥P - ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点。

（1）若PA = 1，求证：EF⊥平面PCD；

（2）若PA = 2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角 Q - AP - D的余弦值为
？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由。

20．（本小题共12分）已知焦点在
轴的椭圆

的左、右焦点分别为
，直线
过右焦点
，和椭圆交于
两点，且满足
，直线
的斜率为
。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的右焦点，T为直线
上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求
的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当
最小时，求点T的坐标．

21．（本小题共12分）已知函数
(a为常数)，曲线y＝f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的单调区间；

(2)证明：当
时，
；

(3)证明：当
时，
.

22. （本小题共10分）选修4-4：极坐标和参数方程

已知曲线C的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
（t为参数）

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）设点
，若直线l与曲线C交于A，B两点，且
，求实数m的值。

23. （本小题共10分）选修4-5：不等式选讲

已知
。

（1）若
，求a的最大值。

（2）若
的最大值为M,解不等式
.

上饶市重点中学2015届高三六校第二次联考

数学试卷答案
（理科）

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

A

C

D

B

A

A

C

D

A

C





二.填空题

13. 5 14.
15. 5 16. 2

三.解答题

17. 解析：（1）f (x)＝sinx(cosx－sinx)＋＝sin2x－ ·＋＝sin(2x＋)，

=
．（6分）

(2).
,

又因为a、b、c成等比数列,所以b2＝ac．

由余弦定理知
，

故
的面积
（12分）

18. （1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

……1分

直方图如右所示……………………………….2分

中位数是

计这次考试的中位数是73.33分…………………….4分

（2）
，
，
”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。

………………………8分

(3) 因为
,所以其分布列为:

数学期望为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

19．证明（1）取PD中点M，连接MF，MA在ΔCPD中，F为PC的中点，

∴MF平行且等于
，正方形ABCD中E为AB中点， AE平行且等于
，

∴AE平行且等于MF，故：EFMA为平行四边形，∴EF∥AM ……2分

又因为PA=1=AD

所以
为等腰三角形，所以AM⊥PD，

又因为CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM

因为
，所以AM⊥平面PCD；

因为EF∥AM，所以EF⊥平面PCD。 ……5分

（2）如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系：

，
，
，
，

由题易知平面PAD的法向量为
， ……6分

假设存在Q满足条件：设
，
，

，
，
，

设平面PAQ的法向量为
，

∴
，由已知：

解得：
，所以：满足条件的Q存在，是EF中点。 ……12分

20．解：（1）由已知解得c=2,b2＝2.

所以椭圆C的标准方程是
. ………………………………（4分）

（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是(2，0).

设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为
.

因为
，所以直线FT的斜率为
，其方程为
.

当
时，
，所以点
的坐标为
，

此时直线OT的斜率为
，其方程为
.

将M点的坐标为
代入，得
.

解得
. ………………………………………………（8分）

（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线
上任意一点可得，点T点的坐标为
.

于是
，

.

所以

.

当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值
．

故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．…………………………（12分）

21.解：（1）由
，得
.

又
，所以
.所以
，
.

由
，得
.

所以函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增. ………（4分）

(2)证明：由（1）知
.

所以
，即
，
.

令
，则
.

所以
在
上单调递增，所以
，

即
.…………（8分）

(3)首先证明：当
时，恒有
.

证明如下：令
，则
.

由(2)知，当
时，
，所以
，所以
在
上单调递增，

所以
，所以
.

所以
，即
.

依次取
，代入上式，则

，

，

.

以上各式相加，有

所以
，

所以
，即
…（12分）

22. 解：（1）曲线C的直角坐标方程
……3分

直线l的普通方程为
……5分

（2）将
代入
，得：
，

整理得：
，

由
，即
，解得：-1 < m < 3

设t1、t2是上