2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查

数学（文科）试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：




第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．若
，则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人. 现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取

A．55人，80人，45人 B．40人，100人，40人

C．60人，60人，60人 D．50人，100人，30人

4．经过圆
的圆心且与直线
平行的直线方程是

A．
B．

C．
D．

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是

A．若m∥α，n
α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β

C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥n，m⊥α，则n⊥α

6．已知
，
，则

A．
B．
C．
D．

7．下列函数中，既为奇函数又在
内单调递减的是

A．

B．

C．

D．

8．运行如图所示的程序，若输出
的值为1，

则可输入
的个数为

A．

B．

C．

D．

9．已知实数
满足
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

10．已知四棱锥
的三视图如图所示,

则此四棱锥的侧面积为

A．

B．

C．

D．

11．已知点
是
所在平面上一点，
边的中点为
，若
，

则
与
的面积比为

A．
B．
C．
D．

12.
为坐标原点，
为曲线
上的两个不同点，若
，则直线
与圆
的位置关系是

A. 相交 B. 相离 C. 相交或相切 D. 相切或相离

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．

13．复数
（
为虚数单位），则
.

14．在区间
内任取一个实数
，则使不等式
成立的概率为 .

15．关于
的方程
的两个根为
，则
的最小值为 .

16．已知函数
，且
恒成立. 给出下列结论：

①函数
在
上单调递增；

②将函数
的图象向左平移
个单位，所得图象对应的函数为偶函数；

③若
，则函数
有且只有一个零点.

其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知等比数列
的前
项和
.

（Ⅰ）求实数
的值和
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，
，求
.

18．（本小题满分12分）

某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课. 为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为
，
，
，
，
.

（Ⅰ）求频率分布直方图中
的值；

（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；

（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，

随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在

上的概率.

19．（本小题满分12分）

已知函数

在一个周期内的图象如图所示，

其中

，

．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）在
中，角
的对边分别是
，

且
，求
的面积．

20．（本小题满分12分）

如图四棱锥
中，平面
平面
，
，

，且
，
．

（Ⅰ）求三棱锥
的体积；

（Ⅱ）问：棱
上是否存在点
，使得
平面
？

若存在，求出
的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知点
，动点
满足直线
与直线
的斜率之积为
.

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线
与曲线
交于点
，记点
到直线
的距离为
.

（ⅰ）求
的值；

（ⅱ）过点
作直线
的垂线交直线
于点
，求证：直线
平分线段
.

22．（本小题满分14分）

已知函数
（
）．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式
对任意
恒成立．

（ⅰ）求实数
的取值范围；

（ⅱ）试比较
与
的大小，并给出证明（
为自然对数的底数，
）．

2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．B 2．B 3．D 4．A 5．D 6．A 7．C 8．D 9．B 10．C

11．C 12．A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．
； 14．
； 15．
； 16．①③．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分．

解：（Ⅰ）∵
,

∴
，
，
. 3分

∵数列
是等比数列,

∴
，即
， 4分

∴
. 5分

∴数列
是以
为首项，
为公比的等比数列， 6分

∴
. 7分

（Ⅱ）∵
，∴
， 8分

当
时，

9分

11分

又
符合上式，

∴
. 12分

18．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解

能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）时间分组为
的频率为

， 2分

∴
，

所以所求的频率直方图中
的值为
. 3分

（Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：

4分

. 5分

因为
，

所以该校不需要推迟5分钟上课. 6分

（Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在
中的有
人，不妨设为
，

单程所需时间在
中的有
人，不妨设为
， 7分

从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下
种情况：

，
，
，
，
，
，
，

，
，
； 10分

其中恰有一个学生的单程所需时间落在
中的有以下6种：

，
，
，
，
，
； 11分

故恰有一个学生的单程所需时间落在
中的概率
. 12分

19．本题主要考查解三角形，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分．

解：（Ⅰ）由图像可知：函数
的周期
， 1分

∴
. 2分

又
过点
,

∴
，
， 3分

∵
，
，

∴
，即
. 4分

∴
. 5分

（Ⅱ）∵
即
，

又

∴
，即
. 7分

在
中，
，

由余弦定理得
， 8分

∴
，即
，

解得
或