2015年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

文科数学

命题学校：金川公司第一高级中学 命题教师：郭连鹏 金玉银 程媛媛

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上。

回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）函数
的定义域为
，函数
的值域为
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量
的方向相反的单位向量是

　 （A）（－
，
） （B）（－
，
）　（C）（
，－
）　（D）（
，－
）　

（3）函数
的图象

（A）关于
对称 （B）关于y轴对称 （C）关于原点对称 （D）关于
对称

（4）若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）曲线
与直线
围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）函数
＋bx的图象在点A（l，f(1））处的切线与直线3x - y＋2＝0平行，若数列

｛
｝的前n项和为Sn，则S2015＝

（A）1　　 　（B）
　 　（C）
　 （D）

（7）若
则“
”是“
”成立的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（8）已知向量
，且
∥
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）若某几何体的三视图(单位：
)如图所示，

则该几何体的体积等于

（A）

（B）

（C）

（D）

（10）设函数
若
,则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）在
中，
的对边分别为
，且
，
，则
的面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（12）已知抛物线C：x2 =8y的焦点为F，准线为
，P是
上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
，则|QF|=

（A）6 （B）3 （C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）在复平面内，复数z与
的对应点关于虚轴对称，则z= ．

（14）在四面体


，则该四面体

的外接球的表面积为 ．

（15）当输入的实数
时，执行如图所示的程序框图，

则输出的
不小于103的概率是 ．

（16）已知函数
，若方程

有四个不同的解
，
，
，
，且
，

则
的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

设数列
的前
项和为
，点
均在函数
的图象上．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
为等比数列，且
，求数列
的前n项和
．

（18）（本小题满分12分）

移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.

（Ⅰ）求某人获得优惠金额不低于300元的概率；

（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中

选出6人，再从该6人中随机选两人，求这两人获得相等

优惠金额的概率.

（19）（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥
的底面为菱形，

，
，
.

（Ⅰ）求证：AB⊥PC；

（Ⅱ）求四棱锥
的体积.

（20）（本小题满分12分）

已知
是抛物线
上的两个点，点
的坐标为
，直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线
的下方.

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）设
为
上的一点，且
，过
两点分别作
的切线，记两切线的交点为
.判断四边形
是否为梯形，并说明理由.

（21）（本小题满分12分）

设函数
,其中a为正实数．

（Ⅰ）若x=0是函数
的极值点,讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若
在
上无最小值,且
在
上是单调增函数,求a的取值范围，

并由此判断曲线
与曲线
在
交点个数．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=
AC，AE=
AB，

BD，CE相交于点F.

（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；

（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
=2.

（Ⅰ）分别写出
的普通方程，
的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知M，N分别为曲线
的上、下顶点，点P为曲线
上任意一点，求
的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.

（Ⅰ）设函数
.证明：
；

（Ⅱ）若实数
满足
,求证:
．

2015年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

文科数学试题答案及评分参考

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，

（1）D （2）A （3）A 　 （4）B （5）A （6）D

（7）B （8）D （9）B （10）B （11）C （12）A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13） －1+i （14）
（15）
（16）

三、解答题：

（17）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）依题意得
，即
．

当n=1时，a1=S1=1 ……………1分

当n≥2时，
； ……………3分

当n=1时，a1=
=1

所以
……………4分

(Ⅱ)
得到
，又
，
，

， ……………8分

，

……………12分

（18）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）设事件
=“某人获得优惠金额不低于300元”，则
.…4分

(Ⅱ)设事件
=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”， ……………5分

由题意按分层抽样方式选出的6人中，获200元优惠的1人，获500元优惠的3人，获300元优惠的2人,分别记为
，从中选出两人的所有基本事件如下：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15个. ……………9分

其中使得事件
成立的为
，
，
，
，共4个 ……………10分

则
. ……………12分

（19）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）证明：取
的中点
，连接
．

∵
，∴
, ………2分

又四边形
是菱形，且
，

∴
是等边三角形，∴
.-----4分

∴
，又
，∴
.--------------6分

(Ⅱ)

.…………………8分

是边长为
的正三角形，
又
,

,
,又
,
平面
， …………10分

.所以菱形ABCD的面积为

所求体积为
--------------------------------12分

（20）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）抛物线
的焦点为
.--------------------------1分

由题意，得直线
的方程为
，

令
，得
，即直线
与y轴相交于点
.--------3分

因为抛物线
的焦点在直线
的下方，所以
，解得
，因为
，

所以
.----------------------5分

(Ⅱ)结论：四边形
不可能为梯形.理由如下：

假设四边形
为梯形.依题意，设
，
，
，

联立方程
消去y，得
，

由韦达定理，得
，所以
. 同理，得
.-----------------7 分

对函数
求导，得
，

所以抛物线
在点
处的切线
的斜率为
，

抛物线
在点
处的切线
的斜率为
.---------------------------9分

由四边形
为梯形，得
或
.

若
，则
，即
，因为方程
无解，所以
与
不平行.

若
，则
，即
，因为方程
无解，所以
与
不平行，-----------------------------------------------------------------------11分

所以四边形
不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形
不可能为梯形.-------------12分

（21）（本小题满分12分）

解:

（Ⅰ）由
得
------------------------------------------2

的定义域为:

函数
的增区间为
,减区间为
------------------4

(Ⅱ)由

若
则
在
上有最小值
---------------------------------5

当
时,
在
单调递增无最小值 ----------------------------------6

∵
在
上是单调增函数∴
在
上恒成立

∴
------- 7

综上所述
的取值范围为
---------- 8

此时
即
, ----10

则 h（x）在
单减,
单增,

极小值为
．故两曲线没有公共点 ---------------------12

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

解：

（1）证明：

，

．

在正△
中，
，

，--------------1

又
，
，

△BAD≌△CBE，

，-------------------------3

即
，所以
，
，
，
四点共圆．…………………………（5分）

（2）解：如图，取
的中点
，连结
，则
．

，

，