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2015年长沙市高考模拟试卷

数 学（文科）

长沙市教科院组织名优教师联合命制

满分：150分 时量：120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量
，若
∥
，则实数
=

A．
B．－2 C．－7 D．3

3．在△ABC中，
，
△ABC的面积等于

A－
B.
C.
或
D.

4．下列关于函数

A．

B．

C．

D．

5．右图是一个几何体的三视图，其中正（主）视图、

侧（左）视图都是矩形，则该几何体的体积是

A．24　 B．18

C．16 D．12

6．

，
，
，

A.
B.
C.
D.

7．已知
的导函数是
，

，则有

A．
B．
C．
D．

8．设
，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是

A．S=2,这5个数据的方差 B．S=2,这5个数据的平均数

C．S=10,这5个数据的方差 D．S=10,这5个数据的平均数

9.

，则下列结论中正确的是

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

10.函数
的定义域是

11.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）
.

.

12. 已知区域
，定点A（3，1），在M内任取一点P，使得
的概率为

13. 已知抛物线
,

是抛物线

,

，

+

14. 给出下列四个命题：

①
的充分不必要条件是
；

②
;

③已知点
若
，则动点
的轨迹为双曲线的一支；

④若
，则
其中所有真命题的序号是

15.已知函数

＜

，

:

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（l2分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155㎝和195㎝之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组
，第二组
、…、第八组
，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。

（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180㎝以上（含180㎝）的人数；

（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；

（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为

，求满足：
的事件概率。

17．（l2分）已知向量

，


，

。

(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（2）若将
图象上各点的横坐标变为原来的
，再将所得图象向右平移
个单位，纵坐标不变，得到
的图象，若关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围。

18．（l2分）设函数
的所有正的极小值点从小到大排成的数列为
。

（1）求数列

；

（2）设

，

.

19．（l3分）数学课上，张老师用六根长度均为
的塑料棒搭成了一个正三棱锥（如图所示），然后他将其中的两根换成长度分别为
和
的塑料棒，又搭成了一个三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥，如果两人都将BD换成了长为
的塑料棒。

（1）试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因；

（2）试证平面ABD⊥平面CBD；

（3）求新三棱锥的外接球的表面积。

20．（l3分）已知椭圆
:

的离心率为
，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
.

（1）求椭圆

；

（2）设椭圆
的左焦点为
，右焦点为
，如图所示，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，并且垂直动直线
于点
，线段
的垂直平分线交
于点
，求点
的轨迹
的方程；

（3）设O为坐标原点，取
上不同于O的点S，以OS为直径作圆与
相交于另外一点R，求该圆的面积的最小值。

21．（l3分）已知函数
的图象过点
，且在[-2，1]内单调递减.在[1，+∞]上单调递增.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若对于任意的
不等式
恒成立。试问这样的
是否存在？若存在，请求出
的取值范围；若不存在，说明理由.

2015年长沙市高考模拟试卷

数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9



答案

B

A

C

D

D

C

A

A

A





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

10.
11.
12.

13.
14. ② 15.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（1）直方图的前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）
5=0.82

后三组的频率为1-0.82=0.18，故这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800
0.18=144（人）

（2）由直方图得后三组的人数为0.18
50=9（人），第八组频率为0.008
5=0.04，人数为0.04
50=2（人），设第六组人数为m，则第七组人数为9-2-m=7-m，又m+2=2(7-m),所以m=4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08、0.06；

（3）由（2）知身高在
内的人数为4人，身高在
内的人数为2人，

若
时有，有6种情况；若
时有，有1种情况；若
分别在
和
内时，设
表示身高在
的4个人，
表示身高在
的2个人，若抽取的两个人在
中，

有
共6中情况，若抽取两人中一个来自于
，一个来自于
中，

有
共8中情况，故基本事件总数为6+1+8=15种，事件“
”所包含的基本事件有7种，故所求概率为
。

17．（本小题满分12分）

（1）

因为直线
是
图像的一条对称轴，

18．（本小题满分12分）

19．（本小题满分13分）

（1）张老师换掉的另一根塑料棒是CD（或AD,BC,BA）,而陈成同学换掉的另外一根塑料棒是AC，陈成同学想搭成的三棱锥中，取AC中点E,连接BE,DE,

因
所以BE是直角三角形ABC斜边上的中线，得

同理
从而由
,不能构成三角形。

（2）不妨设张老师换掉的另一根塑料棒是CD，取BD中点F，连接AF,CF,

因
是等腰三角形，所以
,又
是直角三角形，所以CF=BF=DF.

又AB=AC=AD,所以
又CF与BD确定平面BCD,

所以

(3)由(2)可知：三棱锥的外接球的球心必在直线AF上，设球半径为R,因为

所以，新三棱锥的外接球的表面积
。

20．（本小题满分12分）

①

②

由①，②得，

21．（本小题满分13分）

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